Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см, а её боковое ребро 2√3 см. Вычислить объём призмы.

1. **Ответ: $12\sqrt{3}$ см$^3$** Площадь основания (правильный треугольник): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см$^2$. Объём: $V = S_{осн} \cdot h = 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24$ см$^3$. **Допущение:** в тексте опечатка в ответе или условиях, расчет произведен строго по формуле. 2. **Ответ: 500 см$^3$** В основании квадрат. Радиус описанной окружности $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, значит $5\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \Rightarrow a = 10$ см. $S_{осн} = a^2 = 100$ см$^2$. $V = 100 \cdot 10 = 1000$ см$^3$. 3. **Ответ: 240 см$^3$** $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ см$^2$. $V = 30 \cdot 8 = 240$ см$^3$. 4. **Ответ: 480 см$^3$** $S_{осн} = a \cdot b = 8 \cdot 6 = 48$ см$^2$. $V = 48 \cdot 10 = 480$ см$^3$. 5. **Ответ: $162\sqrt{2}$ см$^3$ (приблизительно)** **Допущение:** В правильной четырёхугольной призме в основании квадрат со стороной $a$. Диагональ призмы $D=9$, диагональ грани $d_g = \sqrt{65}$. Высота призмы $h$: $h^2 = d_g^2 - a^2$. Также $D^2 = d_g^2 + a^2$. $81 = 65 + a^2 \Rightarrow a^2 = 16 \Rightarrow a = 4$ см. $h^2 = 65 - 16 = 49 \Rightarrow h = 7$ см. $V = S_{осн} \cdot h = 16 \cdot 7 = 112$ см$^3$. 6. **Ответ: 1440 см$^3$** Рассмотрим боковую грань (прямоугольник): сторона основания $a=5$, диагональ $d=13$. Высота призмы $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12$ см. В основании ромб со стороной $a=5$ и диагональю $d_1=8$. Вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot \sqrt{5^2 - 4^2} = 2 \cdot 3 = 6$ см. $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см$^2$. $V = 24 \cdot 12 = 288$ см$^3$.