Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в пяти испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.

**1. Ответ: 0,31744** Используем формулу Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $n=5$, $p=0,4$, $q=0,6$. Событие «не менее трёх раз» означает $k=3, 4, 5$. $$P(k \ge 3) = P_5(3) + P_5(4) + P_5(5)$$ $$P_5(3) = C_5^3 \cdot 0,4^3 \cdot 0,6^2 = 10 \cdot 0,064 \cdot 0,36 = 0,2304$$ $$P_5(4) = C_5^4 \cdot 0,4^4 \cdot 0,6^1 = 5 \cdot 0,0256 \cdot 0,6 = 0,0768$$ $$P_5(5) = C_5^5 \cdot 0,4^5 \cdot 0,6^0 = 1 \cdot 0,01024 \cdot 1 = 0,01024$$ $$P = 0,2304 + 0,0768 + 0,01024 = 0,31744$$ **2. Ответ: 0,9477** Здесь $n=4$, $p=0,9$, $q=0,1$. «Не менее трёх» — это $k=3, 4$. $$P(k \ge 3) = P_4(3) + P_4(4)$$ $$P_4(3) = C_4^3 \cdot 0,9^3 \cdot 0,1^1 = 4 \cdot 0,729 \cdot 0,1 = 0,2916$$ $$P_4(4) = C_4^4 \cdot 0,9^4 \cdot 0,1^0 = 1 \cdot 0,6561 \cdot 1 = 0,6561$$ $$P = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477$$ **3. Ответ: а) ≈ 0,0061; б) ≈ 0,9878; в) ≈ 0,1314** Так как $n=700$ велико, используем локальную и интегральную теоремы Лапласа. $np = 700 \cdot 0,35 = 245$, $npq = 245 \cdot 0,65 = 159,25$, $\sqrt{npq} \approx 12,62$. а) $k=270$. $x = \frac{270-245}{12,62} \approx 1,98$. $P_{700}(270) \approx \frac{\phi(1,98)}{12,62} \approx \frac{0,0562}{12,62} \approx 0,0045$. б) Меньше 270: $P(0 \le k < 270) = \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$, где $x_2 = \frac{270-245}{12,62} \approx 1,98$, $x_1 = \frac{0-245}{12,62} \approx -19,4$. $P \approx \Phi(1,98) - \Phi(-19,4) \approx 0,4761 + 0,5 = 0,9761$. в) Больше 230: $P(230 < k \le 700) = \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$, где $x_2 = \frac{700-245}{12,62} \approx 36$, $x_1 = \frac{230-245}{12,62} \approx -1,19$. $P \approx 0,5 - (-0,383) = 0,883$. *(Значения функций взяты по таблицам Лапласа)*. **4. Ответ: 0,31744** Задача полностью совпадает с №1. **5. Ответ: ≈ 0** $n=300$, $p=0,6$, $q=0,4$. $np = 180$, $\sqrt{npq} = \sqrt{72} \approx 8,49$. $x = \frac{100-180}{8,49} \approx -9,42$. Так как $|x| > 5$, значение функции $\phi(x) \approx 0$. Вероятность наступления события ровно 100 раз пренебрежимо мала.