1. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет не менее двух раз.

1. Чтобы найти вероятность того, что «герб» выпадет не менее двух раз при 8 бросках монеты, сначала найдём вероятность противоположного события: «герб» выпадет менее двух раз, то есть 0 или 1 раз. Вероятность выпадения «герба» (успеха) в одном броске $p = 0.5$. Вероятность невыпадения «герба» (неудачи) $q = 1 - p = 0.5$. Используем формулу Бернулли: $P(k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$, где $n=8$ (количество бросков), $k$ (количество выпадений «герба»). Вероятность того, что «герб» выпадет 0 раз ($k=0$): $$P(0) = C_8^0 (0.5)^0 (0.5)^{8-0} = 1 \cdot 1 \cdot (0.5)^8 = 0.00390625$$ Вероятность того, что «герб» выпадет 1 раз ($k=1$): $$P(1) = C_8^1 (0.5)^1 (0.5)^{8-1} = 8 \cdot 0.5 \cdot (0.5)^7 = 8 \cdot 0.5^8 = 8 \cdot 0.00390625 = 0.03125$$ Вероятность того, что «герб» выпадет менее двух раз ($P(<2)$): $$P(<2) = P(0) + P(1) = 0.00390625 + 0.03125 = 0.03515625$$ Вероятность того, что «герб» выпадет не менее двух раз ($P(\ge 2)$): $$P(\ge 2) = 1 - P(<2) = 1 - 0.03515625 = 0.96484375$$ **Ответ: 0.96484375** 2. Это задача на применение формулы Бернулли. У нас $n=6$ детей. Вероятность рождения мальчика $p=0.51$, а девочки $q=1-p=1-0.51=0.49$. Нужно найти вероятность того, что будет ровно 2 мальчика ($k=2$). Формула Бернулли: $P(k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ $$P(2) = C_6^2 (0.51)^2 (0.49)^{6-2}$$ Сначала найдём $C_6^2$: $$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$$ Теперь подставим значения: $$P(2) = 15 \cdot (0.51)^2 \cdot (0.49)^4$$ $$P(2) = 15 \cdot 0.2601 \cdot 0.05764801$$ $$P(2) \approx 15 \cdot 0.0150158 \approx 0.225237$$ **Ответ: \approx 0.225237** 3. Это задача на применение локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа, так как количество испытаний $n=500$ велико. Вероятность события А $p=0.4$. Вероятность противоположного события $q = 1-p = 1-0.4 = 0.6$. Математическое ожидание $np = 500 \cdot 0.4 = 200$. Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{500 \cdot 0.4 \cdot 0.6} = \sqrt{120} \approx 10.9545$. а) Найти вероятность того, что событие А происходит **точно 220 раз**. Используем локальную теорему Муавра-Лапласа: $P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \varphi\left(\frac{k - np}{\sqrt{npq}}\right)$ Здесь $k=220$. Найдём $x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{220 - 200}{10.9545} = \frac{20}{10.9545} \approx 1.8257$ По таблице значений функции $\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$ найдём $\varphi(1.8257) \approx \varphi(1.83) \approx 0.0761$. $$P_{500}(220) \approx \frac{1}{10.9545} \cdot 0.0761 \approx 0.006947$$ **Ответ: \approx 0.006947** б) Найти вероятность того, что событие А происходит **меньше чем 240 и больше чем 180 раз**. Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа: $P_n(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi\left(\frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}}\right) - \Phi\left(\frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}}\right)$ Здесь $k_1 = 181$ (так как