Найти вероятность того, что событие A появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события A равна 0,3.

**Ответ: 0,47178** Для решения воспользуемся схемой Бернулли. Пусть $n = 5$ — количество испытаний, $p = 0,3$ — вероятность появления события $A$ в одном испытании, $q = 1 - p = 0,7$ — вероятность того, что событие не произойдёт. Нам нужно найти вероятность того, что событие появится не менее двух раз, то есть $P(k \ge 2)$. Проще найти вероятность противоположного события — что событие $A$ появится менее двух раз (0 или 1 раз), и вычесть её из единицы: $P(k \ge 2) = 1 - (P_5(0) + P_5(1))$ 1. Вычислим вероятность того, что событие не произойдёт ни разу ($k = 0$): $$P_5(0) = C_5^0 \cdot p^0 \cdot q^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0,7)^5 = 0,16807$$ 2. Вычислим вероятность того, что событие произойдёт ровно 1 раз ($k = 1$): $$P_5(1) = C_5^1 \cdot p^1 \cdot q^4 = 5 \cdot 0,3 \cdot (0,7)^4 = 5 \cdot 0,3 \cdot 0,2401 = 0,36015$$ 3. Найдём искомую вероятность: $$P(k \ge 2) = 1 - (0,16807 + 0,36015) = 1 - 0,52822 = 0,47178$$