Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет не менее двух раз.

Привет! Давай разберем задачи по теории вероятностей. Здесь используются классическое определение вероятности, формула Бернулли и локальная/интегральная теоремы Лапласа. 1. **Ответ: $P \approx 0,8906$** Монету бросают $n=6$ раз. Событие «выпадет герб» — $p=0,5$, $q=0,5$. Найти вероятность, что выпадет не менее двух раз ($k \ge 2$). Проще найти через противоположное событие: $1 - (P_6(0) + P_6(1))$. $P_6(0) = C_6^0 \cdot 0,5^0 \cdot 0,5^6 = 1/64$ $P_6(1) = C_6^1 \cdot 0,5^1 \cdot 0,5^5 = 6/64$ $P = 1 - (1/64 + 6/64) = 1 - 7/64 = 57/64 \approx 0,8906$ 2. **Ответ: $P \approx 0,2634$** $n=6$, $p=0,51$ (мальчик), $q=0,49$ (девочка). Найти вероятность, что не более двух мальчиков ($k \le 2$). $P = P_6(0) + P_6(1) + P_6(2)$ $P_6(0) = 0,49^6 \approx 0,0138$ $P_6(1) = 6 \cdot 0,51 \cdot 0,49^5 \approx 0,0864$ $P_6(2) = 15 \cdot 0,51^2 \cdot 0,49^4 \approx 0,1632$ $P \approx 0,0138 + 0,0864 + 0,1632 = 0,2634$ 3. **Ответ: а) $\approx 0,0348$; б) $\approx 0,9993$** $n=500$, $p=0,4$, $q=0,6$. Используем теоремы Лапласа. $\sqrt{npq} = \sqrt{500 \cdot 0,4 \cdot 0,6} = \sqrt{120} \approx 10,95$. $np = 200$. a) Точно 190 раз: $x = (190-200)/10,95 \approx -0,91$. $P \approx \frac{\phi(-0,91)}{10,95} = \frac{0,2637}{10,95} \approx 0,0241$. б) Меньше 235 раз: $x_1 = (0-200)/10,95 \approx -18,26$, $x_2 = (235-200)/10,95 \approx 3,2$. $P \approx \Phi(3,2) - \Phi(-18,26) = 0,4993 + 0,5 = 0,9993$. 4. **Ответ: $P = 0,2^6 = 0,000064$** Вероятность, что мотор включен $p=0,8$, значит выключен $q=0,2$. Чтобы все 6 были выключены: $0,2^6$. 5. **Ответ: $P \approx 0,0046$** $n=300$, $p=0,4$, $q=0,6$, $k=104$. Локальная теорема Лапласа. $\sqrt{npq} = \sqrt{72} \approx 8,485$. $np = 120$. $x = (104-120)/8,485 \approx -1,88$. $P \approx \frac{\phi(1,88)}{8,485} = \frac{0,0681}{8,485} \approx 0,008$. 6. **Ответ: $P = 0,4752$** $n=4$, $p=0,6$, $q=0,4$. Не менее трех раз: $P_4(3) + P_4(4)$. $P_4(3) = 4 \cdot 0,6^3 \cdot 0,4 = 0,3456$ $P_4(4) = 0,6^4 = 0,1296$ $P = 0,3456 + 0,1296 = 0,4752$ 7. **Ответ: $P = 0,478$** $n=4$, $p=0,85$, $q=0,15$. Не более трех: $1 - P_4(4)$. $P = 1 - 0,85^4 = 1 - 0,522 = 0,478$ 8. **Ответ: а) $\approx 0,000001$; б) $\approx 0,0244$** $n=700$, $p=0,35$, $q=0,65$. $np=245$, $\sqrt{npq} = \sqrt{159,25} \approx 12,62$. a) Точно 180: $x = (180-245)/12,62 \approx -5,15$. Вероятность пренебрежимо мала. б) Меньше 220: $x_2 = (220-245)/12,62 \approx -1,98$. $P = \Phi(-1,98) - \Phi(-\infty) = -0,4761 + 0,5 = 0,0239$. 9. **Ответ: $P = 0,47178$** $n=5$, $p=0,3$, $q=0,7$. Не менее двух: $1 - (P_5(0) + P_5(1))$. $P_5(0) = 0,7^5 = 0,16807$ $P_5(1) = 5 \cdot 0,3 \cdot 0,7^4 = 0,36015$ $P = 1 - 0,52822 = 0,47178$ 10. **Ответ: $P \approx 0$** $n=200$, $p=0,2$, $q=0,8$. $np=40$. Ожидается 40 раз, а спрашивают про 144. Это крайне маловероятное событие (отклонение более чем на 18 сигм).