1. Чтобы найти вероятность того, что из шести детей два мальчика, если вероятность рождения мальчика 0,51, воспользуемся формулой Бернулли:
$$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$
где:
* $n$ — общее количество детей (6)
* $k$ — количество мальчиков (2)
* $p$ — вероятность рождения мальчика (0,51)
* $1-p$ — вероятность рождения девочки (1 - 0,51 = 0,49)
* $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, которое можно найти по формуле:
$$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$
Сначала найдём $C_6^2$:
$$C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$$
Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:
$$P_6(2) = 15 \cdot (0,51)^2 \cdot (0,49)^{6-2} = 15 \cdot (0,51)^2 \cdot (0,49)^4$$
$$P_6(2) = 15 \cdot 0,2601 \cdot 0,05764801 \approx 15 \cdot 0,015013 \approx 0,225195$$
**Ответ: 0,225**
2. Это задание решается с помощью локальной теоремы Муавра-Лапласа и интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
а) **Точно 220 раз:**
* $n = 500$ (число испытаний)
* $p = 0,4$ (вероятность события A)
* $q = 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6$ (вероятность, что событие A не произойдёт)
* $k = 220$ (количество наступлений события)
Сначала найдём математическое ожидание (среднее значение) и стандартное отклонение:
$$np = 500 \cdot 0,4 = 200$$
$$\sqrt{npq} = \sqrt{500 \cdot 0,4 \cdot 0,6} = \sqrt{120} \approx 10,954$$
Теперь вычислим значение $x$ для формулы локальной теоремы Муавра-Лапласа:
$$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{220 - 200}{10,954} = \frac{20}{10,954} \approx 1,826$$
Вероятность $P_{500}(220)$ можно найти, используя функцию Гаусса $\phi(x)$:
$$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \cdot \phi(x)$$
По таблице значений функции Гаусса $\phi(1,826) \approx 0,0700$. (Приблизительное значение)
$$P_{500}(220) \approx \frac{1}{10,954} \cdot 0,0700 \approx 0,00639$$
**Ответ: $\approx 0,0064$**
б) **Меньше чем 240 и больше чем 180 раз:**
Здесь нам нужно использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа:
$$P_n(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$$
где $\Phi(x)$ — функция Лапласа.
Найдем $x_1$ и $x_2$:
$$x_1 = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{180 - 200}{10,954} = \frac{-20}{10,954} \approx -1,826$$
$$x_2 = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{240 - 200}{10,954} = \frac{40}{10,954} \approx 3,651$$
Теперь используем функцию Лапласа:
$$P_{500}(180 < k < 240) \approx \Phi(3,651) - \Phi(-1,826)$$
Мы знаем, что $\Phi(-x) = -\Phi(x)$, поэтому:
$$P_{500}(180 < k < 240) \approx \Phi(3,651) + \Phi(1,826)$$
По таблице значений функции Лапласа:
* $\Phi(3,651) \approx 0,4998$
* $\Phi(1,826) \approx 0,4661$
$$P_{500}(180 < k < 240) \approx 0,4998 + 0,4661 = 0,9659$$
**Ответ: $\approx 0,9659$**
3. Так как моторы работают независимо друг от друга, вероятность того, что все 6 моторов включены, равна произведению вероятностей включения каждого мотора:
$$P = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4 \cdot p_5 \cdot p_6$$
Где $p_i$ — вероятность включения $i$-го мотора, и она для всех одинакова, $p = 0,8$.
$$P = (0,8)^6$$
$$P = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,262144$$
**Ответ: 0,262144**
4. Для нахождения вероятности того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2, мы снова воспользуемся формулой Бернулли.
* $n = 400$ (количество испытаний)
* $k = 104$ (количество наступлений события)
* $p = 0,2$ (вероятность наступления события в одном испытании)
* $1-p = 0,8$ (вероятность ненаступления события в одном испытании)
$$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$
Сначала найдём $C_{400}^{104}$. Это очень большое число, поэтому обычно в таких случаях используется приближение по локальной теореме Муавра-Лапласа, так как $n$ большое.
$$np = 400 \cdot 0,2 = 80$$
$$nq = 400 \cdot 0,8 = 320$$
$$\sqrt{npq} = \sqrt{400 \cdot 0,2 \cdot 0,8} = \sqrt{64} = 8$$
Теперь вычислим значение $x$:
$$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{104 - 80}{8} = \frac{24}{8} = 3$$
Теперь используем формулу локальной теоремы Муавра-Лапласа:
$$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \cdot \phi(x)$$
По таблице значений функции Гаусса $\phi(3) \approx 0,00443$.
$$P_{400}(104) \approx \frac{1}{8} \cdot 0,00443 \approx 0,125 \cdot 0,00443 \approx 0,00055375$$
**Ответ: $\approx 0,000554$**
