Из вершины А квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр AE длиной 12 см. докажите, что треугольник BCE- прямоугольный. Найдите его площадь.

1. **Доказательство:** Так как $AE \perp (ABC)$, то $AE$ перпендикулярен любой прямой в плоскости квадрата, следовательно, $AE \perp AB$. $AB \perp BC$ (как стороны квадрата). По теореме о трех перпендикулярах: так как проекция $AB$ наклонной $EB$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то и сама наклонная $EB \perp BC$. Значит, $\triangle BCE$ — прямоугольный с прямым углом $B$. **Решение:** В $\triangle ABE$ ($\angle A=90^{\circ}$): $EB = \sqrt{AE^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см. $S_{BCE} = \frac{1}{2} \cdot EB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 16 = 160$ см$^2$. **Ответ:** 160 см$^2$. 2. Проведем $OK \perp AB$. Так как $O$ — центр квадрата, то $OK = \frac{1}{2} AD = 9$ см. $MK$ — апофема (высота $\triangle ABM$), по теореме о трех перпендикулярах $MK \perp AB$, так как $OK \perp AB$. В $\triangle MOK$ ($\angle O=90^{\circ}$): $MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см. $S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 15 = 135$ см$^2$. **Ответ:** 135 см$^2$. 3. Проведем высоту $AH$ в равнобедренном $\triangle ABC$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, значит $BH = HC = 12$ см. Из $\triangle ABH$ ($\angle H=90^{\circ}$): $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см. По теореме о трех перпендикулярах расстояние от $M$ до $BC$ — это наклонная $MH$, так как $AH \perp BC$. В $\triangle MAH$ ($\angle A=90^{\circ}$): $MH = \sqrt{AM^2 + AH^2} = \sqrt{24^2 + 16^2} = \sqrt{576 + 256} = \sqrt{832} = 8\sqrt{13}$ см. **Ответ:** $8\sqrt{13}$ см. 4. Точка $O$ — центр правильного $\triangle ABC$ (точка пересечения медиан, высот). Расстояние $OK$ от центра до стороны $AB$ равно радиусу вписанной окружности: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. $OK = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см. Искомое расстояние $MK$ по теореме о трех перпендикулярах найдется из $\triangle MOK$ ($\angle O=90^{\circ}$): $MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{5^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{25 + \frac{25 \cdot 3}{9}} = \sqrt{25 + \frac{25}{3}} = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см. **Ответ:** $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.