128. Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

**Задание 128** Докажем свойство прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Дано: $\triangle ABC$, $\angle ACB = 90^{\circ}$, $\angle ABC = 30^{\circ}$. Доказать: $AC = \frac{1}{2}AB$. Доказательство: 1) Отметим на луче $AC$ точку $D$ так, что $AC = DC$. Соединим точки $B$ и $D$ (дополнительное построение). 2) $\angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ (так как сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$ и $\triangle ABC$ — прямоугольный). $\triangle ABC = \triangle DBC$ (по двум катетам: $AC=DC$ по построению, $BC$ — общая). $\angle CBD = \angle CBA$ (из равенства треугольников). 3) $\angle CBD + \angle CBA = 60^{\circ}$ ($30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$). 4) $\angle D = \angle A = 60^{\circ}$ (из п. 2), $AB = AD = BD$ (из п. 3 и 4, так как все углы $\triangle ABD$ равны $60^{\circ}$), $AC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}AB$ (из п. 1). Теорема доказана. **Задание 129** Логическая цепочка (стрелки) для схемы: 1. Из блока **Условие** ($\triangle ABC, \angle ACB = 90^{\circ}, \angle ABC = 30^{\circ}$) идут две стрелки: - К блоку $\angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. - К блоку **Дополнительное построение** (отметить точку $D$...). 2. От блоков **Дополнительное построение** стрелка идет к $\triangle ABC = \triangle DBC$. 3. От $\triangle ABC = \triangle DBC$ идут стрелки к: - $\angle CBD = \angle CBA$. - $\angle D = \angle A = 60^{\circ}$. 4. От $\angle CBD = \angle CBA$ стрелка к $\angle CBD + \angle CBA = 60^{\circ}$. 5. От блоков $\angle D = \angle A = 60^{\circ}$ и $\angle CBD + \angle CBA = 60^{\circ}$ стрелки сходятся к $AB = AD = BD$. 6. От $AB = AD = BD$ и условия построения ($AC = DC$) стрелка к $AC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}AB$. 7. От этого блока к итоговому: $AC = \frac{1}{2}AB$. 8. Завершается блоком **Заключение**.