Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

**Ответ: ниже приведено заполненное доказательство.** Докажем свойство: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Дано: $\triangle ABC$, $\angle ACB = 90^{\circ}$, $\angle ABC = 60^{\circ}$, $\angle BAC = 30^{\circ}$. Доказать: $BC = \frac{1}{2}AB$. Доказательство: 1) Отметим на луче $AC$ точку $D$ так, что **$CD = AC$**. Соединим точки $B$ и $D$ (дополнительное построение). 2) $\angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$ и $\triangle ABC$ — **прямоугольный**). $\triangle ABC = \triangle DBC$ (**по двум катетам: $AC=CD$, $BC$ — общая**). $\angle CBD = \angle CBA$ (из **равенства треугольников**). 3) $\angle CBD + \angle CBA = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (угол $\angle ABD$). *Примечание: в тексте учебника допущена опечатка в пункте 3 и 4 относительно углов, так как рассматривается равносторонний треугольник $ABD$, где все углы по $60^{\circ}$.* 4) $\angle D = \angle A = 60^{\circ}$ (из п. **2**). $AB = AD = BD$ (из п. **2** и **4**). $AC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}AB$ (из п. **1** и **4**). Теорема доказана.