Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Доказательство свойства: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Дано: $\triangle ABC$, $\angle ACB = 90^{\circ}$, $\angle ABC = 60^{\circ}$. Доказать: $BC = \frac{1}{2} AB$. Доказательство: 1) Отметим на луче $AC$ точку $D$ так, что $\uline{AC = CD}$. Соединим точки $B$ и $D$ (дополнительное построение). 2) $\angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ (так как сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$ и $\triangle ABC$ — $\uline{прямоугольный}$). $\triangle ABC = \triangle DBC$ $\uline{по\ двух\ катетам}$ ($AC = CD$ по постр., $BC$ — общая), $\angle CBD = \angle CBA$ (из п. $\uline{2}$). 3) $\angle CBD + \angle CBA = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (неверно в условии на фото, должно быть: $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$, однако для доказательства через равносторонний треугольник обычно используется $\angle ABC = 30^{\circ}$). **Исходя из стандартного доказательства:** Если $\angle ABC = 60^{\circ}$, то $\angle BAC = 30^{\circ}$. Тогда катет $BC$ лежит против угла в $30^{\circ}$. В $\triangle ABD$: $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle D = \angle A = 60^{\circ}$, $\angle ABD = 60^{\circ}$. Следовательно, $\triangle ABD$ — равносторонний. $AD = AB$. Так как $AC = \frac{1}{2} AD$, то $AC = \frac{1}{2} AB$. *Примечание: В задании на фото допущена опечатка в значениях углов для доказательства именно этого равенства, так как против угла $30^{\circ}$ лежит катет $BC$, если $\angle BAC=30^{\circ}$, а не $\angle ABC$.*