Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

128. Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Дано: $\triangle ABC$, $\angle ACB = 90^{\circ}$, $\angle ABC = 60^{\circ}$ (тогда $\angle A = 30^{\circ}$). Доказать: $BC = \frac{1}{2}AB$. Доказательство. 1) Отметим на луче $AC$ точку $D$ так, чтобы $AC = CD$. Соединим точки $B$ и $D$ (дополнительное построение). 2) $\angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ (так как сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$ и $\triangle ABC$ — прямоугольный). $\triangle ABC = \triangle DBC$ (по двум катетам: $AC=CD$ по постр., $BC$ — общая). $\angle CBD = \angle CBA$ (из п. 2). 3) $\angle CBD + \angle CBA = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (не совсем подходит под шаблон, вероятно имелось в виду $\angle ABD = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$, но в равностороннем треугольнике все углы по $60^{\circ}$). Исходя из логики заполнения: $\angle D = \angle A = 30^{\circ}$ (из п. 2). Тогда в $\triangle ABD$ имеем $\angle A = 30^{\circ}, \angle D = 30^{\circ}$, а $\angle ABD = 120^{\circ}$. Это делает его равнобедренным ($AB=BD$). Однако стандартное доказательство через достраивание до равностороннего треугольника подразумевает: Отложим на продолжении катета $BC$ за точку $C$ отрезок $CM = BC$. Тогда $\triangle ABM$ будет равносторонним, так как $AC$ — медиана и высота, значит $AB=AM$, и угол $A=60^{\circ}$. В данном учебнике предложено достраивание по катету $AC$. В $\triangle ABD$: $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle D = 30^{\circ}$ (из равенства треугольников), $\angle ABD = 120^{\circ}$. $AB = BD$. $AC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}AB$. Ответ: Дано: $\angle ACB = 90^{\circ}, \angle ABC = 60^{\circ}$. Доказать: $BC = \frac{1}{2}AB$ (или $AC$, если угол $30^{\circ}$ — это $\angle B$). В пропусках: 2) $180^{\circ}$; прямоугольный; по двум катетам; 2. 3) $60^{\circ}$; $AB=BD$; $2$; $AC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}AB$.