Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

### Задание 128 Докажите свойство прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. **Дано:** $\triangle ABC$, $\angle ACB = 90^{\circ}$, $\angle ABC = 60^{\circ}$, $\angle BAC = 30^{\circ}$. **Доказать:** $BC = \frac{1}{2}AB$. **Доказательство:** 1) Отметим на луче $AC$ точку $D$ так, что $AC = CD$. Соединим точки $B$ и $D$ (дополнительное построение). 2) $\angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ (так как сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$ и $\triangle ABC$ — прямоугольный). $\triangle ABC = \triangle DBC$ (по двум катетам: $AC=CD, BC$ — общая). $\angle CBD = \angle CBA$ (из равенства $\triangle$). 3) $\angle CBD + \angle CBA = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$. 4) $\angle D = \angle A = 60^{\circ}$ (из п. 2). $AB = AD = BD$ (из п. 2 и 4). $AC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}AB$ (из п. 1). Теорема доказана. ### Задание 129 **Восстановим пропуски в схеме:** **Условие:** $\triangle ABC, \angle ACB = 90^{\circ}, \angle ABC = 60^{\circ}, \angle BAC = 30^{\circ}$. **Дополнительное построение:** Отметить точку $D$ на луче $AC$ так, чтобы $AC = CD$. Соединить точки $B$ и $D$.