Question

Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Accepted Answer

128. Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы.

Дано: $	riangle ABC$, $\angle ACB = 90^{\circ}$, $\angle ABC = 30^{\circ}$.

Доказать: $AC = \frac{1}{2} AB$.

Доказательство.

1) Отметим на луче $AC$ точку $D$ так, что $CD = AC$. Соединим точки $B$ и $D$ (дополнительное построение).

2) $\angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ (так как сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$ и $	riangle ABC$ — прямоугольный). $	riangle ABC = 	riangle DBC$ (по двум катетам: $AC=CD$ по постр., $BC$ — общая). $\angle CBD = \angle CBA$ (из п. 2).

3) $\angle CBD + \angle CBA = 60^{\circ}$ ($30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$).

4) $\angle D = \angle A = 60^{\circ}$ (из п. 2 и 3). $AB = AD = BD$ (из п. 2 и 4). $AC = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} AB$ (из п. 1 и 4).

Теорема доказана.

Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Ответ ассистента

Другие решения