Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

**Задание 128** **Дано:** $\triangle ABC$, $\angle ACB = 90^{\circ}$, $\angle ABC = 60^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$. **Доказать:** $BC = \frac{1}{2} AB$. **Доказательство:** 1) Отметим на луче $AC$ точку $D$ так, что $\uline{AC = CD}$. Соединим точки $B$ и $D$ (дополнительное построение). 2) $\angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ (так как сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$ и $\triangle ABC$ — $\uline{прямоугольный}$). $\triangle ABC = \triangle DBC$ ($\uline{по\ двух\ катетам}$). $\angle CBD = \angle CBA$ (из $\uline{равенства\ треугольников}$). 3) $\angle CBD + \angle CBA = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$ — этот пункт в учебнике содержит опечатку в формулировке вопроса, обычно доказывают равенство углов для получения равностороннего треугольника $ABD$. Исправим логику согласно шагам: В $\triangle ABD$: $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle D = \angle A = 60^{\circ}$ (из $\uline{п.\ 2}$). $\angle ABD = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 60^{\circ}$. 4) $\angle D = \angle A = 60^{\circ}$ (из п. $\uline{2}$ и $\uline{3}$). $AB = AD = BD$ (из п. $\uline{3}$ и $\uline{4}$). $AC = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} AB$ (из п. $\uline{1}$ и $\uline{4}$). Теорема доказана. **Задание 129** Восстановим пропуски в схеме: **Условие:** $\triangle ABC, \angle ACB = 90^{\circ}, \angle ABC = 60^{\circ}, \angle A = 30^{\circ}$. **Дополнительное построение:** Отметить точку $D$ на луче $AC$ так, чтобы $\uline{AC = CD}$. Соединить точки $\uline{B}$ и $\uline{D}$. Далее по цепочке: 1. $\angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ (ошибка в условии задачи на фото, должно быть $\angle A = 90-60=30$) 2. $\triangle ABC = \triangle DBC$ 3. $\angle CBD = \angle CBA$ 4. $\angle D = \angle A = 60^{\circ}$ 5. $AB = AD = BD$ 6. $AC = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} AB$ 7. $AC = \frac{1}{2} AB$ 8. **Заключение**