17. Вова загадал двузначное число и умножил его на первую цифру этого числа, а затем полученное произведение умножил на вторую цифру загаданного числа. В результате он получил 408. Какое число загадал Вова?

Пусть Вова загадал двузначное число, которое можно записать как $10a + b$, где $a$ — это первая цифра (десятки), а $b$ — вторая цифра (единицы). По условию задачи: 1. Число умножили на первую цифру: $(10a + b) \cdot a$ 2. Полученное произведение умножили на вторую цифру: $((10a + b) \cdot a) \cdot b = 408$ Значит, мы имеем уравнение: $a \cdot b \cdot (10a + b) = 408$ Поскольку $a$ и $b$ — это цифры, то $a$ может быть от 1 до 9, а $b$ от 0 до 9. Разложим число 408 на множители: $408 = 2 \cdot 204 = 2 \cdot 2 \cdot 102 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 51 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17$ $408 = 8 \cdot 3 \cdot 17 = 24 \cdot 17$ $408 = 12 \cdot 34$ $408 = 6 \cdot 68$ Теперь давай подбирать значения для $a$ и $b$: * Если $a=1$, то $b \cdot (10 + b) = 408$. Это не подходит, так как $b \cdot (10+b)$ будет меньше 408 (например, $9 \cdot (10+9) = 9 \cdot 19 = 171$). * Если $a=2$, то $2 \cdot b \cdot (20 + b) = 408 \Rightarrow b \cdot (20 + b) = 204$. Если $b=8$, то $8 \cdot (20+8) = 8 \cdot 28 = 224$. Если $b=7$, то $7 \cdot (20+7) = 7 \cdot 27 = 189$. Не подходит. * Если $a=3$, то $3 \cdot b \cdot (30 + b) = 408 \Rightarrow b \cdot (30 + b) = 136$. * Если $b=4$, то $4 \cdot (30+4) = 4 \cdot 34 = 136$. Это подходит! Значит, $a=3$ и $b=4$. Загаданное число $10a + b = 10 \cdot 3 + 4 = 34$. Проверим: 1. Загаданное число: 34 2. Умножаем на первую цифру (3): $34 \cdot 3 = 102$ 3. Полученное произведение (102) умножаем на вторую цифру (4): $102 \cdot 4 = 408$ Все совпадает. **Ответ: 34**