Вова загадал двузначное число и умножил его на первую цифру этого числа, а затем полученное произведение умножил на вторую цифру загаданного числа. В результате он получил 408. Какое число загадал Вова?

**Ответ: 34** Пусть загаданное двузначное число будет $\overline{ab}$, где $a$ — первая цифра, $b$ — вторая цифра. По условию задачи: $\overline{ab} \cdot a \cdot b = 408$ Разложим число $408$ на простые множители: $$408 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17$$ Поскольку в разложении есть число $17$, то загаданное число $\overline{ab}$ должно быть кратно $17$ (так как цифры $a$ и $b$ не могут быть равны $17$). Выпишем двузначные числа, кратные $17$: $17, 34, 51, 68, 85$. Проверим каждое из них: 1) Если число $17$: $17 \cdot 1 \cdot 7 = 119$ (не подходит) 2) Если число $34$: $34 \cdot 3 \cdot 4 = 102 \cdot 4 = 408$ (**подходит**) 3) Если число $51$: $51 \cdot 5 \cdot 1 = 255$ (не подходит) 4) Если число $68$: $68 \cdot 6 \cdot 8 = 3264$ (слишком много) Таким образом, Вова загадал число $34$.