Вова загадал двузначное число и умножил его на первую цифру этого числа, а затем полученное произведение умножил на вторую цифру загаданного числа. В результате он получил 408. Какое число загадал Вова?

**Ответ: 48** Пусть загаданное Вовой двузначное число будет $\overline{ab}$, где $a$ — первая цифра (десятки), а $b$ — вторая цифра (единицы). По условию задачи составляем уравнение: $$\overline{ab} \cdot a \cdot b = 408$$ Разложим число $408$ на простые множители, чтобы понять, какие цифры и числа могут быть в произведении: $$408 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17$$ Заметим, что в разложении есть число $17$. Значит, наше двузначное число $\overline{ab}$ должно быть кратно $17$. Выпишем двузначные числа, кратные $17$: $17, 34, 51, 68, 85$. Проверим каждое из них: 1. Если $\overline{ab} = 17$, то $a=1, b=7$. Произведение: $17 \cdot 1 \cdot 7 = 119 \neq 408$. 2. Если $\overline{ab} = 34$, то $a=3, b=4$. Произведение: $34 \cdot 3 \cdot 4 = 408$. **Допущение:** В тексте задачи сказано «умножил на первую цифру... а затем полученное произведение умножил на вторую цифру». Проверка для $34$: $34 \cdot 3 = 102$; $102 \cdot 4 = 408$. Подходит. 3. Если $\overline{ab} = 48$ (проверим другие варианты на всякий случай, так как $408$ делится и на другие числа): Разложим $408$ иначе: $408 = 48 \cdot 8,5$ (не подходит). Попробуем $\overline{ab} = 48$: $a=4, b=8$. Произведение: $48 \cdot 4 \cdot 8 = 192 \cdot 8 = 1536 \neq 408$. 4. Если $\overline{ab} = 68$, то $a=6, b=8$. Произведение: $68 \cdot 6 \cdot 8 = 408 \cdot 8 = 3264 \neq 408$. 5. Проверим число $51$: $51 \cdot 5 \cdot 1 = 255 \neq 408$. Вернемся к числу $34$. Проверка: $34 \cdot 3 \cdot 4 = 408$. Однако, перечитаем условие: «умножил его на первую цифру... а затем полученное произведение умножил на вторую цифру». Если число $85$: $85 \cdot 8 \cdot 5 = 3400$. Стоп, проверим еще раз делители $408$. $408 / 1 = 408$ $408 / 2 = 204$ $408 / 3 = 136$ $408 / 4 = 102$ $408 / 6 = 68$ $408 / 8 = 51$ Если число $51$, то $51 \cdot 5 \cdot 1 = 255$ (нет). Если число $68$, то $68 \cdot 6 \cdot 8 = 3264$ (нет). Если число $48$, то $48 \cdot 4 \cdot 8 = 1536$ (нет). Перепроверим расчет для числа $34$: $34 \cdot 3 = 102$ $102 \cdot 4 = 408$ Все верно! Число $34$ полностью удовлетворяет условию.