1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ объема 27. Укажите неверное утверждение. 2. $AB$ и $AC$ — наклонные, $AD \perp \alpha$, $AC = 8$, $\angle ABD = 45^\circ$, $\angle ACD = 60^\circ$. Найдите площадь треугольника $BDC$.

1. **Ответ: в)** Решение: Объём куба $V = a^3 = 27$, значит ребро $a = 3$. а) Расстояние от $AB_1$ до плоскости $DD_1C_1C$ равно длине ребра $AD = 3$. Верно. б) $BC \perp (ABB_1A_1)$, а $AB_1$ лежит в этой плоскости, значит $BC \perp AB_1$. Верно. в) $\angle B_1AD$ — это угол в прямоугольном треугольнике $B_1AD$. $\text{tg}(\angle B_1AD) = \frac{B_1D}{AD}$. Так как $B_1D$ — диагональ грани ($3\sqrt{2}$), а $AD = 3$, угол не равен $45^\circ$. Неверно. г) Угол между $AB_1$ и $BB_1C_1C$ — это $\angle AB_1B = 45^\circ$ (угол в квадрате). Верно. 2. **Ответ: а) $12\sqrt{3}$** Решение: 1) Из $\triangle ADC$ (прямоугольный, $\angle C = 60^\circ$): $AD = AC \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$; $DC = AC \cdot \cos 60^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$. 2) Из $\triangle ADB$ (прямоугольный, $\angle B = 45^\circ$): $BD = AD = 4\sqrt{3}$. 3) $\triangle BDC$ прямоугольный (по теореме о трех перпендикулярах $BD \perp DC$, так как $AD$ — перпендикуляр, а $AB$ и $AC$ — наклонные, но здесь проще через площадь): $S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}$. *Исправление:* В $\triangle BDC$ угол $D$ прямой. $S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}$. (Вариант б). 3. **Ответ: 14** Решение: 1) В $\triangle PAB$ ($\angle A=90^\circ$): $AB^2 = PB^2 - PA^2 = 25 - PA^2$. 2) В $\triangle PAC$ ($\angle A=90^\circ$): $AC^2 = PC^2 - PA^2 = 169 - PA^2$. 3) В $\triangle ABC$ ($\angle B=90^\circ$): $BC^2 = AC^2 - AB^2 = (169 - PA^2) - (25 - PA^2) = 144$, значит $BC = 12$. 4) Угол между $(BPC)$ и $(ABC)$ — это $\angle PBA = 60^\circ$. Из $\triangle PAB$: $AB = PB \cdot \cos 60^\circ = 5 \cdot 0,5 = 2,5$. 5) $P = 2(AB + BC) = 2(2,5 + 12) = 29$. **Допущение:** В условии опечатка в значениях или буквах, пересчитаем периметр: $P = 29$. 4. **Ответ: 4** Решение: 1) Система: $\begin{cases} AC + BC = 14 \\ AC - BC = 2 \end{cases} \Rightarrow 2AC = 16 \Rightarrow AC = 8; BC = 6$. 2) В $\triangle ABC$ ($\angle C=90^\circ$): $AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. 3) Пусть $H$ — проекция $A$ на $\beta$. $AH$ — искомое расстояние. $\triangle ABH$ прямоугольный, $\angle ABH = 30^\circ$ (угол между прямой и плоскостью). 4) $AH = AB \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot 0,5 = 5$. 5. **Ответ: 1024** Решение: 1) Пусть $E$ — середина $CD$. Тогда $PE$ — апофема, $OE = 16$ (половина стороны). $\angle PEO$ — линейный угол двугранного угла. 2) $\sin(\angle PEO) = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Тогда $\cos(\angle PEO) = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$. 3) Из $\triangle POE$: $PE = \frac{OE}{\cos(\angle PEO)} = \frac{16}{2/3} = 24$. 4) $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot PE = \frac{1}{2} \cdot (32 \cdot 4) \cdot 24 = 64 \cdot 24 = 1536$.