Вариант 3. 1. Дан куб ABCDA1B1C1D1 площади поверхности 96. Укажите неверное утверждение. 2. AB = AC = 12 — наклонные, прямая AB составляет угол 30° с плоскостью α, AD ⊥ α, ∠BDC = 150°. Найдите площадь треугольника BDC. 3. В вершине B прямоугольника ABCD восстановлен перпендикуляр PB к его плоскости. Расстояние от точки P до прямой AD равно 10, PB = 8, PD = 6√5. Найдите расстояние от точки P до прямой DC. 4. Плоскость α проходит через гипотенузу BC прямоугольного треугольника ABC, AB = 20, AC = 15. Угол между плоскостями треугольника и α равен 30°. Найдите расстояние от точки A до плоскости α. 5. Дана правильная четырехугольная пирамида PABCD, все ребра которой равны. Найдите двугранный угол при ребре CD.

1. **Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, площади поверхности $96$. Укажите неверное утверждение.** Площадь поверхности куба $S = 6a^2 = 96$, откуда $a^2 = 16$, а ребро $a = 4$. а) Расстояние от $DC_1$ до $AA_1B_1B$ равно ребру $AD = 4$. (Верно) б) Прямая $BC$ параллельна $AD$, а $AD \perp CD_1$. Следовательно, $BC \perp CD_1$ и $BC \perp DC_1$. (Верно) в) Проекция $DC_1$ на плоскость $AA_1C_1C$ — это отрезок $OC_1$ (где $O$ — центр грани $ABCD$). Угол $\angle DC_1O$ в прямоугольном треугольнике с катетом $DO = 2\sqrt{2}$ и гипотенузой $DC_1 = 4\sqrt{2}$. $\sin \angle DC_1O = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$, значит угол $30^\circ$. (Верно) г) Плоскость $ADC_1$ (проходит через диагональ грани) и $AA_1B_1B$ (грань куба). Угол между ними равен углу между $AD$ и $AB$, так как они перпендикулярны линии пересечения. Этот угол $90^\circ$. (Неверно) **Ответ: г** 2. **Найдите площадь треугольника $BDC$.** В $\triangle ABD$: $AD = AB \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot 0,5 = 6$. По теореме Пифагора $BD = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$. Так как $AB = AC$, то $\triangle ABD = \triangle ACD$, значит $CD = BD = 6\sqrt{3}$. $S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD \cdot \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot 36 \cdot 3 = 27$. **Ответ: г) 27** 3. **Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $DC$.** $PB \perp (ABC)$. Расстояние до $AD$ — это отрезок $PA$ (по ТТП, так как $AB \perp AD$). В $\triangle PBA$: $AB = \sqrt{PA^2 - PB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$. В $\triangle PBD$: $BD = \sqrt{PD^2 - PB^2} = \sqrt{(6\sqrt{5})^2 - 8^2} = \sqrt{180 - 64} = \sqrt{116}$. В прямоугольном $\triangle BCD$: $BC = \sqrt{BD^2 - CD^2} = \sqrt{116 - 6^2} = \sqrt{116 - 36} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$. Расстояние от $P$ до $DC$ — это отрезок $PC$ (так как $BC \perp CD$, по ТТП $PC \perp CD$). $PC = \sqrt{PB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{5})^2} = \sqrt{64 + 80} = \sqrt{144} = 12$. **Ответ: 12** 4. **Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$.** В прямоугольном $\triangle ABC$ гипотенуза $BC = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25$. Высота $AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{20 \cdot 15}{25} = 12$. Расстояние от $A$ до $\alpha$ — это катет $AK$ в $\triangle AHK$, где $\angle AHK = 30^\circ$ (линейный угол двугранного угла). $AK = AH \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot 0,5 = 6$. **Ответ: 6** 5. **Найдите двугранный угол при ребре $CD$.** Пусть все ребра равны $a$. Проведем апофемы $PM$ и высоты основания $OM$ к середине $CD$. $OM = \frac{a}{2}$. В равностороннем $\triangle PCD$ апофема $PM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Косинус искомого угла $\phi$ в $\triangle POM$: $\cos \phi = \frac{OM}{PM} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \approx 54,7^\circ$. **Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$**