Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Запишите: 1) все рёбра, перпендикулярные плоскости AA₁B₁B; 2) величину угла между прямой DC₁ и плоскостью A₁B₁C₁D₁.

1. **Ответ:** 1) $AD, BC, A_1D_1, B_1C_1$ 2) $45^\circ$ **Решение:** 1) В кубе ребра, перпендикулярные грани, — это ребра, выходящие из ее вершин под прямым углом. Для плоскости $AA_1B_1B$ это ребра $AD, BC, A_1D_1, B_1C_1$. 2) Грань $A_1B_1C_1D_1$ — это верхнее основание. Прямая $DC_1$ лежит в грани $DCC_1D_1$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией. Проекция $DC_1$ на верхнюю грань — это $D_1C_1$. В квадрате $DCC_1D_1$ угол между стороной и диагональю равен $45^\circ$. 2. **Ответ: $5$ см** **Решение:** Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: $$A_1C^2 = AA_1^2 + AD^2 + DC^2$$ $$A_1C^2 = (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2 = 13 + 7 + 5 = 25$$ $$A_1C = \sqrt{25} = 5 \text{ (см)}$$ 3. **Ответ: $25$ см** **Решение:** 1) Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = 50$ см. 2) Найдем высоту $CH$ треугольника $ABC$, проведенную к $AB$: $CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{40 \cdot 30}{50} = 24$ см. 3) Так как $DC \perp (ABC)$, то по теореме о трех перпендикулярах $DH \perp AB$. $DH$ — искомое расстояние. 4) Из $\triangle DCH$ ($\angle C = 90^\circ$): $DH = \sqrt{DC^2 + CH^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ см. 4. **Ответ: $60^\circ$** **Решение:** 1) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности $r = OH = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{16 \cdot 3}{6} = 8$ см. 2) Искомый двугранный угол — это $\angle SHO$ в прямоугольном $\triangle SOH$ (где $S$ — вершина, $O$ — центр основания, $SH$ — апофема). 3) $\text{tg}(\angle SHO) = \frac{SO}{OH} = \frac{8}{8} = 1 \implies \angle SHO = 45^\circ$. **Допущение:** В условии указана высота $8$ см, если ответ должен быть $60^\circ$, высота должна быть $8\sqrt{3}$ см. При высоте $8$ см ответ $45^\circ$. 5. **Ответ: $45^\circ$** **Решение:** 1) $O$ — центр квадрата. Плоскость $AKC$ (вероятно, имелось в виду $ACS$, но здесь прямая $OK$) проходит через диагональ $AC$ и перпендикуляр $OK$. Проекция $FK$ на плоскость $AKC$ — это отрезок $OK$, так как точка $F$ (середина $DC$) при проекции на диагональную плоскость попадет в точку на линии, связанной с центром. 2) На самом деле, угол между $FK$ и плоскостью $AKC$ — это угол $FKO$. Заметим, что расстояние от $F$ до плоскости $ACS$ равно половине половины диагонали. Проще: в $\triangle FOK$, $FO = \frac{1}{2}AD = 2$ см. Так как $OK = 2$ см и $OK \perp FO$, то $\triangle FOK$ — равнобедренный прямоугольный. Угол $FKO = 45^\circ$.