Вариант 1. 1. Дан куб ABCDA1B1C1 объема 64. Укажите неверное утверждение.

1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1$ объема 64. Укажите неверное утверждение. Сторона куба $a = \sqrt[3]{64} = 4$. а) Расстояние от прямой $D_1C$ до плоскости $AA_1B_1B$ равно 4: Верно (это длина ребра $AD=4$). б) прямые $B_1C_1$ и $D_1C$ перпендикулярны: Верно ($B_1C_1 \parallel BC$, а $BC \perp CD$ и $BC \perp CC_1 \Rightarrow BC \perp (DCC_1D_1) \Rightarrow BC \perp D_1C$). в) угол между прямой $D_1C$ и плоскостью $ABCD$ равен $45^\circ$: Верно (угол $D_1CD$ в квадрате $DCC_1D_1$). г) $\angle A_1D_1C = 135^\circ$: Неверно. $\angle A_1D_1C = 90^\circ$, так как $A_1D_1 \perp (DCC_1D_1)$. **Ответ: г** 2. $AB$ и $AC$ — наклонные, $AD \perp \alpha$, $AB=12$, $\angle ABD=30^\circ$, $\angle ACD=45^\circ$, $\angle BDC=90^\circ$. Найдите площадь треугольника $BDC$. 1) Из $\triangle ABD$ (прямоугольный): $AD = AB \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot 0,5 = 6$. $BD = AB \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$. 2) Из $\triangle ACD$ (прямоугольный, $\angle C = 45^\circ$): $CD = AD = 6$. 3) $S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}$. **Ответ: а** 3. В вершине $B$ прямоугольника $ABCD$ восстановлен перпендикуляр $PB$. Найдите периметр прямоугольника, если $PA=6, PD=10$, угол между $(APD)$ и $(ABCD)$ равен $60^\circ$. 1) По теореме о трех перпендикулярах $AB \perp AD \Rightarrow PA \perp AD$, значит $\angle PAB = 60^\circ$ — линейный угол двугранного угла. 2) Из $\triangle PAB$: $AB = PA \cdot \cos 60^\circ = 6 \cdot 0,5 = 3$. $PB = PA \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. 3) Из $\triangle PBD$: $BD^2 = PD^2 - PB^2 = 10^2 - (3\sqrt{3})^2 = 100 - 27 = 73$. 4) Из $\triangle ABD$: $AD^2 = BD^2 - AB^2 = 73 - 3^2 = 73 - 9 = 64 \Rightarrow AD = 8$. 5) $P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(3 + 8) = 22$. **Ответ: 22** 4. Плоскость $\alpha$ проходит через катет $BC$. $AC+BC=17, AC-BC=7$. Угол между $AB$ и $\alpha$ равен $45^\circ$. Найдите расстояние от $A$ до $\alpha$. 1) Система: $\begin{cases} AC+BC=17 \\ AC-BC=7 \end{cases} \Rightarrow 2AC=24 \Rightarrow AC=12, BC=5$. 2) Из $\triangle ABC$: $AB = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$. 3) Расстояние — это перпендикуляр $AH$. Угол между $AB$ и $\alpha$ — это $\angle ABH = 45^\circ$. 4) Из $\triangle ABH$: $AH = AB \cdot \sin 45^\circ = 13 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6,5\sqrt{2}$. **Ответ: 6,5\sqrt{2}** 5. Дана правильная четырехугольная пирамида $PABCD$, периметр основания 60, двугранный угол при ребре основания — $\arcsin \frac{8}{17}$. Найдите площадь боковой поверхности. 1) Сторона основания $a = 60 / 4 = 15$. Радиус вписанной окр. $r = a/2 = 7,5$. 2) Пусть $\phi = \arcsin \frac{8}{17}$. Тогда $\sin \phi = 8/17$. Найдем $\cos \phi = \sqrt{1 - (8/17)^2} = 15/17$. 3) Апофема $l = r / \cos \phi = 7,5 / (15/17) = \frac{15}{2} \cdot \frac{17}{15} = 8,5$. 4) $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 8,5 = 30 \cdot 8,5 = 255$. **Ответ: 255**