Диаметр сечения шара, удаленного от центра шара на $\sqrt{5}$ см, равен 4 см. Найдите площадь поверхности и объем шара.

1. Чтобы найти площадь поверхности и объем шара, нам нужно знать его радиус (R). У нас есть сечение шара, которое находится на расстоянии $d = \sqrt{5}$ см от центра шара. Диаметр этого сечения равен 4 см, значит, его радиус $r = 4 / 2 = 2$ см. Представь себе прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара (R), расстоянием от центра шара до сечения (d) и радиусом сечения (r). В этом треугольнике радиус шара — это гипотенуза. По теореме Пифагора: $$R^2 = d^2 + r^2$$ $$R^2 = (\sqrt{5})^2 + 2^2$$ $$R^2 = 5 + 4$$ $$R^2 = 9$$ $$R = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$$ Теперь, когда мы знаем радиус шара (R = 3 см), можем найти площадь поверхности и объем: Площадь поверхности шара ($S$): $$S = 4\pi R^2$$ $$S = 4\pi (3)^2$$ $$S = 4\pi \cdot 9$$ $$S = 36\pi \text{ см}^2$$ Объем шара ($V$): $$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$ $$V = \frac{4}{3}\pi (3)^3$$ $$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27$$ $$V = 4\pi \cdot 9$$ $$V = 36\pi \text{ см}^3$$ **Ответ:** Площадь поверхности шара $36\pi \text{ см}^2$, объем шара $36\pi \text{ см}^3$. 2. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник. Боковая сторона равна 5 см, а высота, проведенная к основанию, — 4 см. Диагональ боковой грани, содержащей основание треугольника, равна 10 см. Найдем объем призмы. Для начала найдем площадь основания треугольника. Пусть боковые стороны треугольника $b = 5$ см, а высота к основанию $h_a = 4$ см. Так как треугольник равнобедренный, высота к основанию делит его на два равных прямоугольных треугольника. Пусть половина основания равна $x$. Тогда по теореме Пифагора: $$x^2 + h_a^2 = b^2$$ $$x^2 + 4^2 = 5^2$$ $$x^2 + 16 = 25$$ $$x^2 = 25 - 16$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$$ Значит, основание треугольника $a = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ см. Площадь основания треугольника ($S_{осн}$): $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$ $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4$$ $$S_{осн} = 12 \text{ см}^2$$ Теперь найдем высоту призмы ($H_{пр}$). Диагональ боковой грани, содержащей основание треугольника (сторону $a = 6$ см), равна 10 см. Эта боковая грань представляет собой прямоугольник. Одна его сторона — основание треугольника ($a = 6$ см), а другая — высота призмы ($H_{пр}$). По теореме Пифагора для этой грани: $$H_{пр}^2 + a^2 = D^2$$ $$H_{пр}^2 + 6^2 = 10^2$$ $$H_{пр}^2 + 36 = 100$$ $$H_{пр}^2 = 100 - 36$$ $$H_{пр}^2 = 64$$ $$H_{пр} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$ Объем призмы ($V_{призмы}$): $$V_{призмы} = S_{осн} \cdot H_{пр}$$ $$V_{призмы} = 12 \cdot 8$$ $$V_{призмы} = 96 \text{ см}^3$$ **Ответ:** Объем призмы $96 \text{ см}^3$. 3. Высота конуса равна $H$, и она составляет с образующей конуса угол $\alpha$. Найдем площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен $\beta$. Пусть $L$ — длина образующей конуса, а $R$ — радиус основания конуса. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей конуса, мы знаем, что: $$H = L \cos \alpha$$ $$L = \frac{H}{\cos \alpha}$$ И радиус основания: $$R = L \sin \alpha = H \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = H \operatorname{tg} \alpha$$ Сечение, проведенное через две образующие, является равнобедренным треугольником. Пусть эти образующие — $L_1$ и $L_2$. Длина каждой из них равна $L = \frac{H}{\cos \alpha}$. Угол между этими образующими равен $\beta$. Площадь такого треугольника ($S_{сеч}$) можно найти по формуле: $$S_{сеч} = \frac{1}{2} L_1 L_2 \sin \beta$$ Подставляем $L_1 = L_2 = L$: $$S_{сеч} = \frac{1}{2} L^2 \sin \beta$$ Теперь подставим выражение для $L$: $$S_{сеч} = \frac{1}{2} \left(\frac{H}{\cos \alpha}\right)^2 \sin \beta$$ $$S_{сеч} = \frac{1}{2} \frac{H^2}{\cos^2 \alpha} \sin \beta$$ **Ответ:** Площадь сечения равна $\frac{H^2 \sin \beta}{2\cos^2 \alpha}$.