Точка A (0; √2; √5) лежит на сфере с центром Q (3; 0; 0). а) Напишите уравнение сферы. б) Принадлежат ли этой сфере точки с координатами (5; 0; 2√3); (4; -1; 0)?

Давай разберём задачи из раздела **C-10**. ### Задание 1 **Ответ: а) $(x - 3)^2 + y^2 + z^2 = 16$; б) Точка $(5; 0; 2\sqrt{3})$ принадлежит сфере, точка $(4; -1; 0)$ не принадлежит.** **Решение:** а) Уравнение сферы с центром в точке $Q(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$$ Найдём квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния от центра $Q(3; 0; 0)$ до точки $A(0; \sqrt{2}; \sqrt{5})$: $$R^2 = (0 - 3)^2 + (\sqrt{2} - 0)^2 + (\sqrt{5} - 0)^2 = (-3)^2 + (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 2 + 5 = 16$$ Уравнение сферы: $$(x - 3)^2 + y^2 + z^2 = 16$$ б) Проверим точки, подставив их координаты в уравнение сферы: 1. Для точки $(5; 0; 2\sqrt{3})$: $$(5 - 3)^2 + 0^2 + (2\sqrt{3})^2 = 2^2 + 12 = 4 + 12 = 16$$ $16 = 16$ — точка лежит на сфере. 2. Для точки $(4; -1; 0)$: $$(4 - 3)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 1^2 + 1 = 2$$ $2 \neq 16$ — точка не лежит на сфере. --- ### Задание 2 **Ответ: $R = 13$** **Решение:** 1. Найдём гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{15^2 + (\sqrt{351})^2} = \sqrt{225 + 351} = \sqrt{576} = 24$$ 2. Около прямоугольного треугольника можно описать окружность. Её радиус $r$ равен половине гипотенузы: $$r = \frac{c}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ 3. Центр сферы, центр описанной около треугольника окружности и расстояние от центра сферы до плоскости ($d = 5$) образуют прямоугольный треугольник. Радиус сферы $R$ — его гипотенуза: $$R = \sqrt{r^2 + d^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$