Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см², а высота конуса равна 1,2 см.

1. Площадь осевого сечения конуса — это площадь равнобедренного треугольника, у которого основание равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$). $$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot H = R \cdot H$$ Мы знаем, что $S_{сеч} = 0,6 \text{ см}^2$ и $H = 1,2 \text{ см}$. Подставим эти значения: $$0,6 = R \cdot 1,2$$ $$R = \frac{0,6}{1,2} = 0,5 \text{ см}$$ Теперь найдем образующую конуса ($L$) с помощью теоремы Пифагора: $$L^2 = R^2 + H^2$$ $$L^2 = (0,5)^2 + (1,2)^2$$ $$L^2 = 0,25 + 1,44$$ $$L^2 = 1,69$$ $$L = \sqrt{1,69} = 1,3 \text{ см}$$ Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $$S_{бок} = \pi R L$$ $$S_{бок} = \pi \cdot 0,5 \cdot 1,3$$ $$S_{бок} = 0,65\pi \text{ см}^2$$ **Ответ:** $0,65\pi \text{ см}^2$ 2. Диагональ осевого сечения цилиндра, образующая и диаметр основания образуют прямоугольный треугольник. Пусть диагональ осевого сечения $d = 48$ см, образующая (высота цилиндра) $H$, а диаметр основания $D$. Угол между диагональю и образующей равен $60^{\circ}$. Из прямоугольного треугольника: $$H = d \cdot \cos(60^{\circ})$$ $$H = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24 \text{ см}$$ $$D = d \cdot \sin(60^{\circ})$$ $$D = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} \text{ см}$$ Радиус основания $R = \frac{D}{2} = \frac{24\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ см}$. Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $$S_{бок} = 2\pi R H$$ $$S_{бок} = 2\pi \cdot (12\sqrt{3}) \cdot 24$$ $$S_{бок} = 576\pi\sqrt{3} \text{ см}^2$$ **Ответ:** $576\pi\sqrt{3} \text{ см}^2$ 3. Основанием призмы является треугольник со сторонами $a=5$, $b=4$ и углом между ними $\gamma = 30^{\circ}$. Высота призмы $h=0,2$. Площадь основания призмы ($S_{осн}$) - это площадь треугольника, которая вычисляется по формуле: $$S_{осн} = \frac{1}{2} ab \sin\gamma$$ $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin(30^{\circ})$$ $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \frac{1}{2}$$ $$S_{осн} = 5$$ Объем призмы ($V$) вычисляется по формуле: $$V = S_{осн} \cdot h$$ $$V = 5 \cdot 0,2$$ $$V = 1$$ **Ответ:** $1$ 4. Основанием призмы является прямоугольник со сторонами $a=3$ и $b=4$. Высота призмы равна диагонали прямоугольника. Найдем диагональ прямоугольника ($d$) по теореме Пифагора: $$d^2 = a^2 + b^2$$ $$d^2 = 3^2 + 4^2$$ $$d^2 = 9 + 16$$ $$d^2 = 25$$ $$d = 5$$ Высота призмы $h = d = 5$. Площадь основания призмы ($S_{осн}$) - это площадь прямоугольника: $$S_{осн} = a \cdot b$$ $$S_{осн} = 3 \cdot 4 = 12$$ Объем призмы ($V$) вычисляется по формуле: $$V = S_{осн} \cdot h$$ $$V = 12 \cdot 5$$ $$V = 60$$ **Ответ:** $60$ 5. Основанием призмы является квадрат со стороной $a = \sqrt{2}$. Высота призмы равна удвоенной диагонали квадрата. Найдем диагональ квадрата ($d$) со стороной $a = \sqrt{2}$: $$d = a\sqrt{2}$$ (или по теореме Пифагора $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, $d = a\sqrt{2}$) $$d = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$$ Высота призмы $h$ равна удвоенной диагонали квадрата: $$h = 2d = 2 \cdot 2 = 4$$ Площадь основания призмы ($S_{осн}$) - это площадь квадрата: $$S_{осн} = a^2$$ (или $S_{осн} = (\sqrt{2})^2 = 2$) Объем призмы ($V$) вычисляется по формуле: $$V = S_{осн} \cdot h$$ $$V = 2 \cdot 4$$ $$V = 8$$ **Ответ:** $8$ 6. В прямой треугольной призме две стороны основания $a=\sqrt{11}$ и $b=3$, а синус угла между ними $\sin\gamma = \frac{\sqrt{11}}{6}$. Боковое ребро равно $4$. Боковое ребро прямой призмы является ее высотой, то есть $h=4$. Площадь основания призмы ($S_{осн}$) - это площадь треугольника: $$S_{осн} = \frac{1}{2} ab \sin\gamma$$ $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{11} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6}$$ $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{11}{6}$$ $$S_{осн} = \frac{33}{12} = \frac{11}{4} = 2,75$$ Объем призмы ($V$) вычисляется по формуле: $$V = S_{осн} \cdot h$$ $$V = \frac{11}{4} \cdot 4$$ $$V = 11$$ **Ответ:** $11$ 7. Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб со стороной $a=3$ и острым углом $\alpha = 45^{\circ}$. Высота пирамиды $H = \sqrt{2}$. Площадь основания пирамиды ($S_{осн}$) - это площадь ромба, которая вычисляется по формуле: $$S_{осн} = a^2 \sin\alpha$$ $$S_{осн} = 3^2 \cdot \sin(45^{\circ})$$ $$S_{осн} = 9 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$S_{осн} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$$ Объем пирамиды ($V$) вычисляется по формуле: $$V = \frac{1}{3} S_{осн} H$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot 2}{2}$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot 9$$ $$V = 3$$ **Ответ:** $3$ 8. Высота правильной четырехугольной пирамиды $H=7$, а сторона основания $a=8$. Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат. Апофема пирамиды ($A_p$) - это высота боковой грани. Проекция апофемы на основание равна половине стороны основания, то есть $\frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4$. Найдем апофему по теореме Пифагора: $$A_p^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$$ $$A_p^2 = 7^2 + 4^2$$ $$A_p^2 = 49 + 16$$ $$A_p^2 = 65$$ $$A_p = \sqrt{65}$$ Боковое ребро ($L$) можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, апофемой и половиной диагонали основания. Или же более просто, рассматривая прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной диагонали основания. Диагональ основания ($d$) квадрата со стороной $a=8$: $$d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$ Половина диагонали основания: $\frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$. Найдем боковое ребро $L$ по теореме Пифагора: $$L^2 = H^2 + (\frac{d}{2})^2$$ $$L^2 = 7^2 + (4\sqrt{2})^2$$ $$L^2 = 49 + (16 \cdot 2)$$ $$L^2 = 49 + 32$$ $$L^2 = 81$$ $$L = \sqrt{81} = 9$$ **Ответ:** $9$ 9. Объем шара $V = \frac{2048\pi}{3}$. Формула объема шара: $$V = \frac{4}{3} \pi R^3$$ Приравняем заданный объем к формуле: $$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2048\pi}{3}$$ Разделим обе части на $\frac{4\pi}{3}$: $$R^3 = \frac{2048}{4}$$ $$R^3 = 512$$ $$R = \sqrt[3]{512}$$ $$R = 8$$ Диаметр шара $D = 2R = 2 \cdot 8 = 16$. **Ответ:** $16$ 10. Объем конуса $V = 162\pi$. Высота конуса $H = 6$. Формула объема конуса: $$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$$ Приравняем заданный объем к формуле: $$\frac{1}{3} \pi R^2 H = 162\pi$$ Подставим $H=6$: $$\frac{1}{3} \pi R^2 \cdot 6 = 162\pi$$ $$2\pi R^2 = 162\pi$$ Разделим обе части на $2\pi$: $$R^2 = \frac{162}{2}$$ $$R^2 = 81$$ $$R = \sqrt{81} = 9$$ Диаметр основания конуса $D = 2R = 2 \cdot 9 = 18$. **Ответ:** $18$ 11. Площадь основания цилиндра $S_{осн} = 256$, его высота $H = \frac{9}{\sqrt{\pi}}$. Площадь основания цилиндра - это площадь круга: $$S_{осн} = \pi R^2$$ $$256 = \pi R^2$$ $$R^2 = \frac{256}{\pi}$$ $$R = \sqrt{\frac{256}{\pi}} = \frac{16}{\sqrt{\pi}}$$ Полная поверхность цилиндра ($S_{полн}$) вычисляется по формуле: $$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$$ $$S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi R H$$ Подставим известные значения: $$S_{полн} = 2 \cdot 256 + 2\pi \cdot \frac{16}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{9}{\sqrt{\pi}}$$ $$S_{полн} = 512 + 2\pi \cdot \frac{16 \cdot 9}{\pi}$$ $$S_{полн} = 512 + 2 \cdot 16 \cdot 9$$ $$S_{полн} = 512 + 288$$ $$S_{полн} = 800$$ **Ответ:** $800$ 12. Высота цилиндра $H=3$ м, радиус основания $R=2$ м. а) Диагональ осевого сечения цилиндра ($d$). Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Его стороны — это высота цилиндра $H$ и диаметр основания $2R$. Диагональ осевого сечения можно найти по теореме Пифагора: $$d^2 = H^2 + (2R)^2$$ $$d^2 = 3^2 + (2 \cdot 2)^2$$ $$d^2 = 3^2 + 4^2$$ $$d^2 = 9 + 16$$ $$d^2 = 25$$ $$d = 5 \text{ м}$$ б) Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$). $$S_{бок} = 2\pi R H$$ $$S_{бок} = 2\pi \cdot 2 \cdot 3$$ $$S_{бок} = 12\pi \text{ м}^2$$ в) Объем цилиндра ($V$). $$V = \pi R^2 H$$ $$V = \pi \cdot 2^2 \cdot 3$$ $$V = \pi \cdot 4 \cdot 3$$ $$V = 12\pi \text{ м}^3$$ **Ответ:** Диагональ осевого сечения: $5$ м; Площадь боковой поверхности: $12\pi$ м$^2$; Объем цилиндра: $12\pi$ м$^3$