1. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде длиной 3, которая стягивает дугу в 120°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

1. **Ответ: $S_{бок} = \sqrt{6}\pi$** **Решение:** 1. Пусть $R$ — радиус основания, $L$ — образующая, $H$ — высота конуса. 2. Хорда $a = 3$ стягивает дугу $120^\circ$. По теореме синусов или из равнобедренного треугольника в основании: $a = 2R \sin(120^\circ/2) = 2R \sin 60^\circ = R\sqrt{3}$. Отсюда $R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. 3. Расстояние от центра основания до хорды $d = R \cos 60^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 4. Угол между плоскостью сечения и основанием — это угол между апофемой сечения и её проекцией $d$. Так как угол $45^\circ$, то высота конуса $H = d = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 5. Образующая $L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{3 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$. 6. $S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\pi \sqrt{45}}{2} = \frac{3\sqrt{5}\pi}{2}$. *(Исправлено: расчёт образующей $L$ через угол сечения $45^\circ$ и $d$: $L_{сеч} = \frac{d}{\cos 45^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$. Но для площади боковой поверхности нужна образующая конуса $L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{3/4 + 3} = \sqrt{15}/2$.)* 2. **Ответ: 1) $S_{бок} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$; 2) $S_{кр} = \frac{3\pi a^2}{16}$** **Решение:** 1) В осевом сечении пирамиды, проходящем через высоты боковых граней, имеем равнобедренный треугольник с углом при основании $60^\circ$ (значит, он равносторонний). Шар вписан в пирамиду, значит, его центр лежит на высоте. Пусть высота пирамиды $H$, радиус шара $r$. Из условий: расстояние от центра шара до вершины $a = H - r$. В равностороннем сечении со стороной $b$ (где $b$ — сторона основания): $H = \frac{b\sqrt{3}}{2}$, $r = \frac{b\sqrt{3}}{6}$. Тогда $a = \frac{b\sqrt{3}}{2} - \frac{b\sqrt{3}}{6} = \frac{b\sqrt{3}}{3}$. Отсюда $b = a\sqrt{3}$. Апофема $h_{бок} = b = a\sqrt{3}$. $S_{бок} = \frac{1}{2} P h_{бок} = \frac{1}{2} (4b) b = 2b^2 = 2(a\sqrt{3})^2 = 6a^2$. *(Уточнение: При угле $60^\circ$ сечение — равносторонний треугольник, $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos 60^\circ} = 2b^2 = 6a^2$)*. 2) Сфера касается боковой грани в точке, лежащей на апофеме. Окружность касания вписана в пирамиду. Радиус этой окружности $\rho = r \cos 30^\circ = \frac{a\sqrt{3}/3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{4\sqrt{3}} \cdot \dots$ Нет, $\rho$ — это катет в треугольнике касания. Расстояние от оси до точки касания $\rho = r \cos 30^\circ = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$. $S_{кр} = \pi \rho^2 = \pi (\frac{a\sqrt{3}}{4})^2 = \frac{3\pi a^2}{16}$.