Найти расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ и площадь треугольника $ABC$.

163. Дано: $BD = 9$ см, $AC = 10$ см, $BC = BA = 13$ см. а) Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $AC$. б) Найдите площадь треугольника $ABC$. **Решение:** а) Для того чтобы найти расстояние от точки $D$ до прямой $AC$, нужно рассмотреть треугольник $ADC$. Прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Это означает, что $BD$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AC$. Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ — это длина отрезка $DH$, где $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из $D$ на $AC$. Однако, если $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, то $BD$ перпендикулярна $AC$. Тогда расстояние от $D$ до $AC$ будет $DH$, где $H$ — точка пересечения $BD$ и $AC$. Но в условии $BD$ — это прямая, перпендикулярная плоскости $ABC$, а не высота в треугольнике $ADC$. Если $D$ — это точка, а $BD$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, то $B$ — это проекция $D$ на плоскость. Тогда расстояние от $D$ до прямой $AC$ — это длина наклонной $DH$, где $BH$ — перпендикуляр из $B$ на $AC$. Сначала найдем $BH$. Треугольник $ABC$ равнобедренный, так как $BA = BC = 13$ см. $AC = 10$ см. Высота $BH$ в равнобедренном треугольнике является также медианой, поэтому $AH = HC = AC/2 = 10/2 = 5$ см. В прямоугольном треугольнике $BHC$ (угол $BHC = 90^ ext{o}$): $BH^2 + HC^2 = BC^2$ $BH^2 + 5^2 = 13^2$ $BH^2 + 25 = 169$ $BH^2 = 169 - 25$ $BH^2 = 144$ $BH = \sqrt{144} = 12$ см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DBH$ (угол $DBH = 90^ ext{o}$, так как $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, а $BH$ лежит в этой плоскости). Мы ищем $DH$. $DH^2 = DB^2 + BH^2$ $DH^2 = 9^2 + 12^2$ $DH^2 = 81 + 144$ $DH^2 = 225$ $DH = \sqrt{225} = 15$ см. **Ответ а): Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно 15 см.** б) Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота$. Мы уже нашли основание $AC = 10$ см и высоту $BH = 12$ см. $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$ $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12$ $S_{ABC} = 5 \cdot 12$ $S_{ABC} = 60$ см$^2$. **Ответ б): Площадь треугольника $ABC$ равна 60 см$^2$.**