Вычислите значение выражения $\sqrt[3]{-27} \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{81}} \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

**Ответ: 4** **Решение:** 1. Вычислим первый корень: $$\sqrt[3]{-27} = -3$$ 2. Вычислим второй корень: $$\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \sqrt[4]{\left(\frac{1}{3}\right)^4} = \frac{1}{3}$$ 3. Возведём число в степень: $$64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} = 8$$ 4. Подставим полученные значения в исходное выражение: $$-3 \cdot \frac{1}{3} \cdot 8 = -1 \cdot 8 = -8$$ **Допущение:** В тексте задания 4 после знака умножения стоит точка, но перед $64^{\frac{1}{2}}$ знак отсутствует. Если подразумевается сумма или разность, ответ изменится. Решено как произведение всех трёх множителей. **Задание 5** **Ответ: 2** **Решение:** 1. Используем свойства логарифмов: $$\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$$ $$\log_5 135 - \log_5 5,4 = \log_5 \left(\frac{135}{5,4}\right) = \log_5 25 = 2$$ 2. Преобразуем второе слагаемое: $$3 \log_8 4 = 3 \log_{2^3} 2^2 = 3 \cdot \frac{2}{3} \log_2 2 = 2$$ 3. Итоговое значение (если это сумма выражений): $$2 + 2 = 4$$ **Задание 6** **Ответ: $-\frac{120}{169}$** **Решение:** 1. Найдём $\cos \alpha$. Так как $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (II четверть), косинус отрицателен: $$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$$ 2. Используем формулу двойного угла: $$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{120}{169}$$ **Задание 7** **Ответ: 30** **Решение:** Площадь многоугольника, описанного около окружности, находится по формуле: $$S = p \cdot r$$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности. 1. Полупериметр: $p = \frac{P}{2} = \frac{20}{2} = 10$. 2. Площадь: $S = 10 \cdot 3 = 30$.