Вычислите значение выражения корней, упростите логарифмическое выражение и решите задачи по тригонометрии и анализу функций.

**Ответ: 4. -4; 5. 3; 6. -\frac{120}{169}; 7. 30; 8. 0.** 4. Вычислим по частям: $\sqrt[3]{-27} = -3$ $\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \sqrt[4]{3^{-4}} = \frac{1}{3}$ $64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} = 8$ Результат: $-3 \cdot \frac{1}{3} \cdot 8 = -1 \cdot 8 = -8$. **Допущение:** Исходя из знака между корнями, если там стоит умножение, ответ $-8$. Если во втором слагаемом плюс: $-3 + \frac{1}{3} \cdot 8 = -3 + 2\frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$. Обычно в таких тестах подразумевается умножение. 5. Используем свойства логарифмов: $\log_5 135 - \log_5 5,4 = \log_5 \frac{135}{5,4} = \log_5 25 = 2$ $3^{\log_3 4} = 4$ (основное логарифмическое тождество) Результат: $2 + 1 = 3$. 6. Найдем $\cos \alpha$. Так как $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (вторая четверть), косинус отрицателен: $\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = -\sqrt{\frac{169-144}{169}} = -\frac{5}{13}$ $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot (-\frac{5}{13}) = -\frac{120}{169}$. 7. Площадь многоугольника, в который вписана окружность: $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр. Периметр $P = 20 \Rightarrow p = 10$. $S = 10 \cdot 3 = 30$. 8. Функция $f(x)$ возрастает там, где её производная $f'(x) \ge 0$. По графику это промежутки: $[-2; 2]$ и $[5; 6)$. Целые точки в этих промежутках: $-2, -1, 0, 1, 2, 5$. Сумма: $-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 5 = 5$. 9. Используем формулу двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$: $\sin^2 17^\circ - \cos^2 17^\circ = -(\cos^2 17^\circ - \sin^2 17^\circ) = -\cos(2 \cdot 17^\circ) = -\cos 34^\circ$ Выражение: $\frac{24 \cdot (-\cos 34^\circ)}{\cos 34^\circ} = -24$. 10. Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. $f(2) = 4 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 7 = 32 - 12 + 7 = 27$ $f'(x) = 12x^2 - 6x$ $f'(2) = 12 \cdot 4 - 6 \cdot 2 = 48 - 12 = 36$ $y = 27 + 36(x - 2) = 27 + 36x - 72 = 36x - 45$. 11. $(\frac{1}{6})^{10-2x} \ge (\frac{1}{6})^2$ Так как основание $\frac{1}{6} < 1$, меняем знак неравенства: $10 - 2x \le 2 \Rightarrow -2x \le -8 \Rightarrow x \ge 4$. 12. $\sqrt{x^2 + 9} = 2x - 3$ Возведем в квадрат при условии $2x - 3 \ge 0$ ($x \ge 1,5$): $x^2 + 9 = 4x^2 - 12x + 9$ $3x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 3x(x - 4) = 0$ $x_1 = 0$ (не подходит по условию $x \ge 1,5$) $x_2 = 4$. **Ответ: 4.**