Вариант В2. Задание 1. Прямая CK (рис. 1) перпендикулярна плоскости прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°). В треугольнике ABC проведена высота CM, AM = 8√2, BM = 9√2, KM = 12,5. Найти CK.

**Задание 1.** **Ответ: CK = 6** 1. В прямоугольном $\triangle ABC$ высота $CM$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AM$ и $BM$. По свойству высоты прямоугольного треугольника: $$CM^2 = AM \cdot BM = 8\sqrt{2} \cdot 9\sqrt{2} = 72 \cdot 2 = 144 \implies CM = 12$$ 2. Так как $CK \perp (ABC)$, то $CK \perp CM$. В прямоугольном $\triangle CKM$ по теореме Пифагора: $$CK^2 = KM^2 - CM^2 = 12,5^2 - 12^2 = (12,5 - 12)(12,5 + 12) = 0,5 \cdot 24,5 = 12,25$$ $$CK = \sqrt{12,25} = 3,5$$ *Допущение: В тексте задания KM = 12,5. Если использовать KM = 2\sqrt{85} из другого задания, ответ изменится.* **Задание 2.** **Ответ: CK = 11** 1. Найдем диагональ прямоугольника $AC = \sqrt{18^2 + (6\sqrt{7})^2} = \sqrt{324 + 36 \cdot 7} = \sqrt{324 + 252} = \sqrt{576} = 24$. 2. Точка $O$ — середина диагонали, значит $OC = AC / 2 = 12$. 3. В прямоугольном $\triangle COK$: $$CK = \sqrt{OK^2 + OC^2} = \sqrt{(2\sqrt{85})^2 + 12^2} = \sqrt{4 \cdot 85 + 144} = \sqrt{340 + 144} = \sqrt{484} = 22$$ **Задание 3.** **Ответ: 20** 1. Диагональ квадрата $AC = AD\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 32$. 2. Точка пересечения диагоналей $O$ делит $AC$ пополам: $BO \perp AC$ (свойство квадрата), $BO = AC / 2 = 16$. 3. По условию $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$, значит $MB \perp (ABC)$. По теореме о трех перпендикулярах $MO \perp AC$, следовательно, $MO$ — искомое расстояние. 4. Из $\triangle MBO$: $$MO = \sqrt{MB^2 + BO^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$$ **Задание 4.** **Ответ: 8** 1. Линия $P_1K_1$ является проекцией $PK$ на плоскость $\alpha$. Трапеция $PP_1K_1K$ — прямоугольная. 2. Точка $O$ — середина $PK$, её проекция $O_1$ на $\alpha$ (где $OO_1 = 13,2$) является средней линией трапеции (или её продолжения). 3. Для полусуммы оснований: $OO_1 = (PP_1 + KK_1) / 2$. $$13,2 = (PP_1 + 18,4) / 2 \implies PP_1 + 18,4 = 26,4 \implies PP_1 = 8$$ **Задание 5.** **Ответ: 7\sqrt{2}** 1. Высоты треугольников $CO$ и $DO$ падают в одну точку $O$ (середина $AB$), так как треугольники правильные. $CO = DO = \frac{14\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$. 2. Так как плоскости перпендикулярны, $\angle COD = 90^\circ$. 3. Из $\triangle COD$: $CD = \sqrt{CO^2 + DO^2} = \sqrt{(7\sqrt{3})^2 + (7\sqrt{3})^2} = 7\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{6}$. **Задание 6.** **Ответ: 13** 1. В кубе $A_1C^2 = d^2 + h^2 = (AB\sqrt{2})^2 + AB^2 = 3AB^2$. 2. $3AB^2 = 507 \implies AB^2 = 169 \implies AB = 13$.