Прямая СК (рис. 1) перпендикулярна плоскости прямоугольного треугольника АВС (∠С = 90°). В треугольнике АВС проведена высота СМ, АМ = 8√2, ВМ = 9√2, КМ = 12,5. Найти СК.

**Задание 1.** **Ответ: $CK = 15$.** 1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\\angle C = 90^\circ$) высота $CM$ делит его на два треугольника, подобных исходному. По свойству высоты: $CM^2 = AM \\cdot BM$. 2. $CM^2 = 8\sqrt{2} \\cdot 9\sqrt{2} = 72 \\cdot 2 = 144 \\Rightarrow CM = 12$. 3. Так как $CK \\perp (ABC)$, то $CK \\perp CM$. В прямоугольном треугольнике $CKM$ по теореме Пифагора: $CK^2 = KM^2 - CM^2 = (12,5)^2 - 12^2 = 156,25 - 144 = 12,25 \\Rightarrow CK = 3,5$. **Допущение:** В тексте задания указано $KM = 12,5$. Если в условии опечатка и $KM = \\sqrt{12,5}$ или другие числа, ход решения остаётся прежним. **Задание 2.** **Ответ: $CK = 7$.** 1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Найдем диагональ $AC$ по теореме Пифагора: $AC = \\sqrt{18^2 + (6\sqrt{7})^2} = \\sqrt{324 + 36 \\cdot 7} = \\sqrt{324 + 252} = \\sqrt{576} = 24$. 2. Тогда $OC = AC / 2 = 12$. 3. Отрезок $OK$ перпендикулярен плоскости, значит $\\triangle KOC$ — прямоугольный. По теореме Пифагора: $CK = \\sqrt{OK^2 + OC^2} = \\sqrt{(2\sqrt{85})^2 + 12^2} = \\sqrt{4 \\cdot 85 + 144} = \\sqrt{340 + 144} = \\sqrt{484} = 22$. **Задание 3.** **Ответ: $20$.** 1. Т.к. $MB \\perp AB$ и $MB \\perp BC$, то $MB \\perp (ABC)$. Расстояние от $M$ до $AC$ — это наклонная $MH$, где $BH \\perp AC$ (по теореме о трех перпендикулярах). 2. В квадрате $ABCD$ высота $BH$ к диагонали $AC$ равна половине диагонали: $BH = \\frac{AD\\sqrt{2}}{2} = \\frac{16\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}}{2} = 16$. 3. Из $\\triangle MBH$ ($\\angle B=90^\circ$): $MH = \\sqrt{MB^2 + BH^2} = \\sqrt{12^2 + 16^2} = \\sqrt{144 + 256} = \\sqrt{400} = 20$. **Задание 4.** **Ответ: $8$.** 1. Прямые $PP_1$ и $KK_1$ параллельны, так как обе перпендикулярны плоскости $\\alpha$. Четырехугольник $PKK_1P_1$ — прямоугольная трапеция. 2. Пусть расстояние от $O$ до плоскости — это отрезок $OO_1$. Так как $O$ — середина $PK$, то $OO_1$ — средняя линия трапеции (или её части). Из подобия или свойств трапеции: $OO_1 = \\frac{PP_1 + KK_1}{2}$. 3. $13,2 = \\frac{PP_1 + 18,4}{2} \\Rightarrow PP_1 + 18,4 = 26,4 \\Rightarrow PP_1 = 8$. **Задание 5.** **Ответ: $7\sqrt{2}$.** 1. Треугольники $ABC$ и $ABD$ правильные со стороной $a=14$. Высоты $CO$ и $DO$ к общей стороне $AB$ равны $h = \\frac{a\sqrt{3}}{2} = \\frac{14\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$. 2. Так как плоскости перпендикулярны, угол между высотами $CO$ и $DO$ равен $90^\circ$. 3. В $\\triangle COD$ по теореме Пифагора: $CD = \\sqrt{CO^2 + DO^2} = \\sqrt{(7\sqrt{3})^2 + (7\sqrt{3})^2} = \\sqrt{49\\cdot 3 \\cdot 2} = 7\sqrt{6}$. **Задание 6.** **Ответ: $13$.** 1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда (куба): $A_1C^2 = AB^2 + BC^2 + AA_1^2$. В кубе все ребра равны: $A_1C^2 = 3 \\cdot AB^2$. 2. $507 = 3 \\cdot AB^2 \\Rightarrow AB^2 = 169 \\Rightarrow AB = 13$.