Параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекают сторону $AB$ угла $BAC$ соответственно в точках $A_1$ и $A_2$, а сторону $AC$ этого угла — соответственно в точках $B_1$ и $B_2$. Найди: а) $AA_2$ и $AB_2$, если $A_1A_2 = 2A_1A = 12$ см, $AB_1 = 5$ см; б) $A_2B_2$ и $AA_2$, если $A_1B_1 = 18$ см, $AA_1 = 24$ см, $AA_2 = \frac{3}{2}A_1A_2$.

Нам даны параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$, которые пересекают стороны угла $BAC$. Точки $A_1$ и $A_2$ лежат на стороне $AB$, а точки $B_1$ и $B_2$ — на стороне $AC$. При этом $A_1$ и $B_1$ лежат в одной плоскости (например, $\alpha$), а $A_2$ и $B_2$ — в другой ($\beta$). Из этого следует, что отрезки $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны. А это значит, что треугольники $\triangle AA_1B_1$ и $\triangle AA_2B_2$ подобны по двум углам (общий угол при вершине $A$ и равные соответственные углы при параллельных прямых). Значит, их стороны пропорциональны. $$\frac{AA_1}{AA_2} = \frac{AB_1}{AB_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}$$ а) Нужно найти $AA_2$ и $AB_2$, если $A_1A_2 = 2A_1A = 12$ см, $AB_1 = 5$ см. Сначала найдём $A_1A$. $2A_1A = 12$ см $\implies A_1A = 12 \div 2 = 6$ см. Теперь найдём $AA_1$. $AA_1 = A_1A = 6$ см. Теперь найдём $AA_2$. $AA_2 = AA_1 + A_1A_2 = 6 + 12 = 18$ см. Используем подобие треугольников для нахождения $AB_2$: $$\frac{AA_1}{AA_2} = \frac{AB_1}{AB_2}$$ $$\frac{6}{18} = \frac{5}{AB_2}$$ $$\frac{1}{3} = \frac{5}{AB_2}$$ $AB_2 = 3 \times 5 = 15$ см. **Ответ: $AA_2 = 18$ см, $AB_2 = 15$ см.** б) Нужно найти $A_2B_2$ и $AA_2$, если $A_1B_1 = 18$ см, $AA_1 = 24$ см, и $AA_2 = \frac{3}{2}A_1A_2$. Сначала найдём $AA_2$. Мы знаем, что $AA_2 = AA_1 + A_1A_2$. Подставим $A_1A_2 = AA_2 - AA_1$: $AA_2 = \frac{3}{2}(AA_2 - AA_1)$ $AA_2 = \frac{3}{2}AA_2 - \frac{3}{2}AA_1$ $AA_2 - \frac{3}{2}AA_2 = -\frac{3}{2}AA_1$ $-\frac{1}{2}AA_2 = -\frac{3}{2}AA_1$ $AA_2 = 3AA_1$ Учитывая, что $AA_1 = 24$ см: $AA_2 = 3 \times 24 = 72$ см. Теперь найдём $A_2B_2$, используя подобие треугольников: $$\frac{AA_1}{AA_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}$$ $$\frac{24}{72} = \frac{18}{A_2B_2}$$ $$\frac{1}{3} = \frac{18}{A_2B_2}$$ $A_2B_2 = 3 \times 18 = 54$ см. **Ответ: $A_2B_2 = 54$ см, $AA_2 = 72$ см.**