Параллельные отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ заключены между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Известно, что $AC = 8$, $BC = 7$, косинус угла $ACB$ равен $\frac{2}{7}$. Найти $A_1B_1$.

1. Так как отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны и заключены между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, то четырёхугольники $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ являются параллелограммами. Из этого следует, что $A_1B_1 = AB$ и $B_1C_1 = BC$. 2. Рассмотрим $\triangle ABC$. По теореме косинусов для $\triangle ABC$: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$$ 3. Подставим известные значения: $AC = 8$, $BC = 7$, $\cos(\angle ACB) = \frac{2}{7}$. $$AB^2 = 8^2 + 7^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \frac{2}{7}$$ $$AB^2 = 64 + 49 - 2 \cdot 8 \cdot 2$$ $$AB^2 = 113 - 32$$ $$AB^2 = 81$$ $$AB = \sqrt{81}$$ $$AB = 9$$ 4. Поскольку $A_1B_1 = AB$, то $A_1B_1 = 9$. **Ответ: $A_1B_1 = 9$**