Параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекают сторону $AB$ угла $BAC$ соответственно в точках $A_1$ и $A_2$, а сторону $AC$ этого угла — соответственно в точках $B_1$ и $B_2$. Найдите: $AA_2$ и $AB_2$, если $A_1A_2 = 2A_1A = 12$ см, $AB_1 = 5$ см.

Нам даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Они пересекают стороны угла с вершиной $A$. Сторона $AB$ пересекается в точках $A_1$ и $A_2$, а сторона $AC$ — в точках $B_1$ и $B_2$. Из условия следует, что $\triangle AA_1B_1$ и $\triangle AA_2B_2$ подобны. а) Найдём $AA_2$ и $AB_2$. Дано: $A_1A_2 = 2A_1A = 12$ см, $AB_1 = 5$ см. Сначала найдём $AA_1$: $2AA_1 = 12$ см $\Rightarrow AA_1 = 6$ см. Теперь найдём $AA_2$. Точка $A_1$ находится между $A$ и $A_2$ (так как $A_1A_2 = 2AA_1$). $AA_2 = AA_1 + A_1A_2 = 6 + 12 = 18$ см. Так как $\triangle AA_1B_1 \sim \triangle AA_2B_2$, то отношение соответствующих сторон равно: $$\frac{AA_1}{AA_2} = \frac{AB_1}{AB_2}$$ Подставляем известные значения: $$\frac{6}{18} = \frac{5}{AB_2}$$ $$\frac{1}{3} = \frac{5}{AB_2}$$ $AB_2 = 3 \cdot 5 = 15$ см. **Ответ:** $AA_2 = 18$ см, $AB_2 = 15$ см. б) Найдём $A_2B_2$ и $AA_2$. Дано: $A_1B_1 = 18$ см, $AA_1 = 24$ см, $AA_2 = \frac{3}{2}A_1A_2$. Используем свойство подобных треугольников: $$\frac{AA_1}{AA_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}$$ Найдём отношение $AA_1$ к $AA_2$. Из условия $AA_2 = \frac{3}{2}A_1A_2$ и $AA_2 = AA_1 + A_1A_2$. Значит $A_1A_2 = AA_2 - AA_1$. Подставим это в равенство: $AA_2 = \frac{3}{2}(AA_2 - AA_1)$ $2AA_2 = 3AA_2 - 3AA_1$ $3AA_1 = 3AA_2 - 2AA_2$ $3AA_1 = AA_2$ Теперь можем найти $AA_2$: $AA_2 = 3 \cdot AA_1 = 3 \cdot 24 = 72$ см. Теперь найдём $A_2B_2$: $$\frac{AA_1}{AA_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}$$ $$\frac{24}{72} = \frac{18}{A_2B_2}$$ $$\frac{1}{3} = \frac{18}{A_2B_2}$$ $A_2B_2 = 3 \cdot 18 = 54$ см. **Ответ:** $A_2B_2 = 54$ см, $AA_2 = 72$ см.