1. Прямые $a$ и $b$ лежат в параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$. Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещивающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая.

1. Прямые $a$ и $b$ лежат в параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$. Эти прямые могут быть: a) **Параллельными.** :::div .chart-container @chart-1::: б) **Скрещивающимися.** :::div .chart-container @chart-2::: 2. Дано: Плоскости $\alpha \parallel \beta$ Точка $O$ лежит между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ Прямая $l$ пересекает $\alpha$ в $A_1$, $\beta$ в $A_2$ Прямая $m$ пересекает $\alpha$ в $B_1$, $\beta$ в $B_2$ $A_1B_1 = 12$ см $B_1O : OB_2 = 3 : 4$ Найти: $A_2B_2$ Решение: Точки $A_1$, $O$, $A_2$ лежат на одной прямой $l$. Точки $B_1$, $O$, $B_2$ лежат на одной прямой $m$. Углы $\angle A_1OB_1$ и $\angle A_2OB_2$ являются вертикальными, значит, они равны: $\angle A_1OB_1 = \angle A_2OB_2$. Рассмотрим треугольники $\triangle A_1OB_1$ и $\triangle A_2OB_2$. Прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ являются линиями пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ соответственно с плоскостью, проходящей через прямые $l$ и $m$. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то и линии их пересечения $A_1B_1$ и $A_2B_2$ с одной плоскостью параллельны. Значит, $A_1B_1 \parallel A_2B_2$. Из этого следует, что $\triangle A_1OB_1 \sim \triangle A_2OB_2$ по двум углам ($\angle A_1OB_1 = \angle A_2OB_2$ и $\angle OA_1B_1 = \angle OA_2B_2$ как накрест лежащие при параллельных прямых $A_1B_1$ и $A_2B_2$ и секущей $l$). Из подобия треугольников следует отношение сторон: $$ \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{B_1O}{OB_2} $$ Подставляем известные значения: $$ \frac{12}{A_2B_2} = \frac{3}{4} $$ Находим $A_2B_2$: $$ 3 \cdot A_2B_2 = 12 \cdot 4 $$ $$ 3 \cdot A_2B_2 = 48 $$ $$ A_2B_2 = \frac{48}{3} $$ $$ A_2B_2 = 16 $$ **Ответ: $A_2B_2 = 16$ см.** 3. Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки $M, N$ и $K$, являющиеся серединами ребер $AB, BC$ и $DD_1$. :::div .chart-container @chart-3::: *Дополнительные пояснения к построению сечения:* 1. Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости основания $ABCD$. Соединяем их отрезком $MN$. 2. Точка $K$ лежит на ребре $DD_1$. Плоскость сечения $MNK$ пересекает грани параллелепипеда. 3. Проводим прямую через $M$ и $N$. Она лежит в плоскости $ABC$. 4. Чтобы найти точку пересечения плоскости $MNK$ с ребром $CC_1$, проведем прямую через $N$ параллельно $BD$. Для этого строим точку $P$ на $CD$ такую, что $CP = AM = NB$. Тогда $NP$ — одна из сторон сечения. 5. Чтобы найти точку на $A_1D_1$ или $AD$, можно построить прямую через $K$ параллельно $MN$. Или можно построить вспомогательные линии. Например, продолжим $MN$ до пересечения с продолжениями $AD$ и $CD$. 6. Пусть $MN$ пересекает продолжение $AD$ в точке $X$. Соединим $X$ и $K$. Эта прямая $XK$ пересечёт ребро $AA_1$ в точке $Q$. $Q$ — одна из вершин сечения. 7. Соединяем $K$ и $Q$. 8. Через $K$ проводим прямую, параллельную $NQ$, которая пересечёт $CC_1$ в точке $R$. Соединяем $R$ и $N$. 9. Соединяем $M$ и $Q$. Однако, более простой способ построения сечения для данного случая (M, N, K — середины рёбер): 1. Соединяем $M$ и $N$. $MN$ — отрезок сечения в плоскости $ABCD$. 2. Поскольку $K$ — середина $DD_1$, а $M$ — середина $AB$, плоскость сечения симметрична относительно центра параллелепипеда. 3. Строим точку $P$ — середину $CD$. Соединяем $N$ с $P$. 4. Точка $K$ — середина $DD_1$. Находим точку $Q$ — середину $A_1A$. Соединяем $M$ с $Q$. 5. Находим точку $R$ — середину $BB_1$. Соединяем $N$ с $R$. 6. Точка $S$ — середина $CC_1$. 7. Тогда сечение будет проходить через $M, N, R, S, K, Q$. Это шестиугольник $MNRSKQ$. Но в данном случае задача подразумевает построение сечения, проходящего через $M, N, K$ именно как плоскости, а не просто соединение этих точек. 1. Проводим $MN$ (лежит в плоскости $ABCD$). 2. Найдём точку пересечения прямой $MN$ с продолжением $AD$. Пусть это будет точка $X$. Соединим $X$ и $K$. Прямая $XK$ будет пересекать грань $ADD_1A_1$. 3. Прямая $XK$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$ и пересекает $AA_1$ в точке $Q$. 4. Найдём точку пересечения прямой $MN$ с продолжением $CD$. Пусть это будет точка $Y$. Соединим $Y$ и $K$. Прямая $YK$ будет пересекать грань $CDD_1C_1$. 5. Прямая $YK$ лежит в плоскости $CDD_1C_1$ и пересекает $CC_1$ в точке $P$. 6. Соединяем $Q$ и $M$, $N$ и $P$, $K$ и $Q$, $K$ и $P$. Сечение $QMNP$ – это искомое сечение. На чертеже показано сечение $QMNP$, где $Q$ — точка на $AA_1$, $P$ — точка на $CC_1$.