Контрольная работа. Прямые и плоскости в пространстве. Параллельность прямых и плоскостей. Задача №1. Даны параллельные плоскости α и β. Через точки A и B в плоскости α проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость β в точках A1 и B1. Найдите A1B1, если AB = 10см.

## Задача №1 **Дано:** Плоскости $\alpha \parallel \beta$. Точки $A, B \in \alpha$. Прямые, проходящие через $A$ и $B$, параллельны и пересекают плоскость $\beta$ в точках $A_1$ и $B_1$. $AB = 10$ см. **Найти:** $A_1B_1$ **Решение:** Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, а прямые $AA_1$ и $BB_1$ также параллельны, то четырёхугольник $ABA_1B_1$ является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, $AB = A_1B_1$. По условию $AB = 10$ см. Следовательно, $A_1B_1 = 10$ см. **Ответ:** $A_1B_1 = 10$ см. *** ## Задача №2 **Вопрос:** Верно ли, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, если прямая $a$, лежащая в плоскости $\alpha$, параллельна плоскости $\beta$? Нарисуйте рисунок. Ответ обоснуйте. **Ответ:** Нет, неверно. **Обоснование:** Если прямая $a$, лежащая в плоскости $\alpha$, параллельна плоскости $\beta$, это не означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Плоскость $\alpha$ может пересекать плоскость $\beta$. Например, плоскость $\alpha$ может быть перпендикулярна плоскости $\beta$, при этом в плоскости $\alpha$ можно провести прямую $a$, которая будет параллельна плоскости $\beta$ (например, прямая, параллельная линии пересечения плоскостей). **Рисунок:** :::div .chart-container @chart-1::: *** ## Задача №3 **Дано:** Плоскость $\alpha \parallel \beta$. Точка $M$ не лежит ни в одной из этих плоскостей и не находится между ними. Через $M$ проведены две прямые, пересекающие плоскости $\alpha$ и $\beta$. Первая прямая пересекает $\alpha$ в $A_1$ и $\beta$ в $A_2$. Вторая прямая пересекает $\alpha$ в $B_1$ и $\beta$ в $B_2$. $MA_1 = 4$ см. $B_1B_2 = 9$ см. $A_1A_2 = MB_1$. **Найти:** $MA_2$ и $MB_2$. **Решение:** Рассмотрим случай, когда точка $M$ находится по одну сторону от обеих плоскостей. Так как $\alpha \parallel \beta$, то по свойству параллельных плоскостей отрезки, отсекаемые на прямых, пропорциональны. Треугольники $MA_1B_1$ и $MA_2B_2$ подобны по двум углам (угол $M$ общий, углы при параллельных прямых $A_1B_1$ и $A_2B_2$ равны). Из подобия треугольников $MA_1B_1 \sim MA_2B_2$ следует, что: $$\frac{MA_1}{MA_2} = \frac{MB_1}{MB_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}$$ Мы знаем $MA_1 = 4$ см. Также у нас есть условие $A_1A_2 = MB_1$. Из подобия треугольников $MA_1A_2$ и $MB_1B_2$ это неверно. Используем свойство подобия. Мы знаем, что $A_2$ лежит на прямой $MA_1$, и $B_2$ лежит на прямой $MB_1$. Из подобия треугольников $MA_1B_1$ и $MA_2B_2$: $$\frac{MA_1}{MA_2} = \frac{MB_1}{MB_2}$$ Мы знаем $MA_1 = 4$ см. $MA_2 = MA_1 + A_1A_2 = 4 + A_1A_2$. $MB_2 = MB_1 + B_1B_2 = MB_1 + 9$. Подставим эти значения в соотношение: $$\frac{4}{4 + A_1A_2} = \frac{MB_1}{MB_1 + 9}$$ У нас также есть $A_1A_2 = MB_1$. Подставим это в уравнение: $$\frac{4}{4 + MB_1} = \frac{MB_1}{MB_1 + 9}$$ Перемножим крест-накрест: $$4(MB_1 + 9) = MB_1(4 + MB_1)$$ $$4MB_1 + 36 = 4MB_1 + MB_1^2$$ $$36 = MB_1^2$$ $$MB_1 = \sqrt{36} = 6$$ (Отрицательное значение не подходит, так как это длина отрезка). Теперь найдем $A_1A_2$: $A_1A_2 = MB_1 = 6$ см. Теперь найдем $MA_2$ и $MB_2$: $MA_2 = MA_1 + A_1A_2 = 4 + 6 = 10$ см. $MB_2 = MB_1 + B_1B_2 = 6 + 9 = 15$ см. **Ответ:** $MA_2 = 10$ см, $MB_2 = 15$ см.