В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=75, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 9√69. Найди sin∠ABC.

142. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC=75$, а высота $CH$, опущенная на гипотенузу, равна $9\sqrt{69}$. Найдите $\sin{\angle ABC}$. Для решения этой задачи нам нужно вспомнить, что в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. У нас есть прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Высота $CH$ опущена на гипотенузу $AB$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Мы ищем $\sin{\angle ABC}$. Для угла $B$ противолежащий катет — это $AC$, а гипотенуза — $AB$. Значит, $\sin{\angle ABC} = \frac{AC}{AB}$. Мы знаем $AC = 75$. Нам нужно найти $AB$. Также рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$ (угол $CHB = 90^\circ$). В этом треугольнике $\sin{\angle B} = \frac{CH}{CB}$. Или, можно использовать другое свойство. Площадь треугольника $ABC$ может быть найдена как $\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$ или как $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$. Значит, $AC \cdot BC = AB \cdot CH$. Ещё одно свойство, которое может помочь: в прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. $AC^2 = AB \cdot AH$ $BC^2 = AB \cdot BH$ Давай вернемся к $\sin{\angle ABC} = \frac{AC}{AB}$. Мы знаем, что $AC = 75$ и $CH = 9\sqrt{69}$. В прямоугольном треугольнике $ACH$ (угол $CHA = 90^\circ$) по теореме Пифагора $AH^2 = AC^2 - CH^2$. $AH^2 = 75^2 - (9\sqrt{69})^2 = 5625 - (81 \cdot 69) = 5625 - 5589 = 36$. Значит, $AH = \sqrt{36} = 6$. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике $AC^2 = AB \cdot AH$. $75^2 = AB \cdot 6$ $5625 = 6 \cdot AB$ $AB = \frac{5625}{6} = \frac{1875}{2} = 937.5$. Теперь мы можем найти $\sin{\angle ABC}$: $\sin{\angle ABC} = \frac{AC}{AB} = \frac{75}{937.5}$. Упростим дробь: $\frac{75}{937.5} = \frac{750}{9375}$. Оба числа делятся на 75. $750 \div 75 = 10$ $9375 \div 75 = 125$ Значит, $\frac{10}{125}$. Оба числа делятся на 5. $10 \div 5 = 2$ $125 \div 5 = 25$ Таким образом, $\sin{\angle ABC} = \frac{2}{25}$. **Ответ:** $\frac{2}{25}$