Найти синус угла ABC в прямоугольном треугольнике ABC, где катет AC = 25, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 10√6

Question

Вопрос:

Найти синус угла ABC в прямоугольном треугольнике ABC, где катет AC = 25, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 10√6

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

10. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$) катет $AC = 25$, а высота $CH$, опущенная на гипотенузу, равна $10\sqrt{6}$. Для начала давай посмотрим на треугольник $ABC$. Мы знаем, что $CH$ — это высота, опущенная на гипотенузу $AB$. Значит, треугольник $AHC$ тоже прямоугольный (угол $H=90^\circ$). В прямоугольном треугольнике $AHC$ мы знаем катет $CH = 10\sqrt{6}$ и гипотенузу $AC = 25$. Мы можем найти синус угла $A$ (который равен углу $BAC$) в этом треугольнике: $$\sin A = \frac{CH}{AC}$$ $$\sin A = \frac{10\sqrt{6}}{25} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$ Теперь вернёмся к большому треугольнику $ABC$. Угол $ABC$ — это то же самое, что и угол $B$. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике $ABC$ углы $A$ и $B$ острые и их сумма равна $90^\circ$. Значит, $\angle B = 90^\circ - \angle A$. Тогда $\sin B = \sin(90^\circ - A)$. По формуле приведения, $\sin(90^\circ - A) = \cos A$. Значит, нам нужно найти $\cos A$. Мы уже знаем $\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5}$. Для прямоугольного треугольника действует основное тригонометрическое тождество $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Значит, $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$. $$\cos^2 A = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{25-24}{25} = \frac{1}{25}$$ Тогда $\cos A = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ (так как угол $A$ острый, косинус положителен). Значит, $\sin(\angle ABC) = \cos A = \frac{1}{5}$. **Ответ:** $\frac{1}{5}$

Найти синус угла ABC в прямоугольном треугольнике ABC, где катет AC = 25, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 10√6

Ответ ассистента

Другие решения