ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.75

Так как заданная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, то для её знаменателя $q$ выполняется условие $|q| < 1$. 1) Рассмотрим сумму: $$ S_1 = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots $$ Данный ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $$ S_1 = \frac{b_1}{1 - q} $$ 2) Рассмотрим сумму квадратов членов прогрессии: $$ S_2 = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + \ldots $$ Запишем члены этой последовательности через $b_1$ и $q$: $$ b_1^2, \quad b_2^2 = (b_1 q)^2 = b_1^2 \cdot q^2, \quad b_3^2 = (b_1 q^2)^2 = b_1^2 \cdot q^4, \ldots $$ Последовательность $b_1^2, b_2^2, b_3^2, \ldots$ является геометрической прогрессией, у которой: — первый член равен $B_1 = b_1^2$; — знаменатель равен $Q = q^2$. Так как $|q| < 1$, то и $|Q| = q^2 < 1$, следовательно, данная прогрессия также является бесконечно убывающей. Её сумма равна: $$ S_2 = \frac{B_1}{1 - Q} = \frac{b_1^2}{1 - q^2} $$ 3) Рассмотрим сумму кубов членов прогрессии: $$ S_3 = b_1^3 + b_2^3 + b_3^3 + \ldots $$ Запишем члены этой последовательности через $b_1$ и $q$: $$ b_1^3, \quad b_2^3 = (b_1 q)^3 = b_1^3 \cdot q^3, \quad b_3^3 = (b_1 q^2)^3 = b_1^3 \cdot q^6, \ldots $$ Последовательность $b_1^3, b_2^3, b_3^3, \ldots$ является геометрической прогрессией, у которой: — первый член равен $B_1 = b_1^3$; — знаменатель равен $Q = q^3$. Так как $|q| < 1$, то $|Q| = |q|^3 < 1$, значит, прогрессия является бесконечно убывающей. Её сумма равна: $$ S_3 = \frac{B_1}{1 - Q} = \frac{b_1^3}{1 - q^3} $$ Ответ: 1) $\dfrac{b_1}{1 - q}$; 2) $\dfrac{b_1^2}{1 - q^2}$; 3) $\dfrac{b_1^3}{1 - q^3}$.