ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.70

Обозначим искомую сумму через $S$: $$ S = \frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_n}} $$ Пусть $d$ — разность арифметической прогрессии, тогда для любого $k$ от $1$ до $n - 1$ выполняется равенство: $$ a_{k+1} - a_k = d $$ Рассмотрим общий вид слагаемого и избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение $(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})$: $$ \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k})(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d} $$ Подставим полученные преобразования в исходную сумму при $d \neq 0$: $$ S = \frac{\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}}{d} + \frac{\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}}{d} + \ldots + \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}}}{d} $$ Объединим дроби с общим знаменателем $d$: $$ S = \frac{(\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + \ldots + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}})}{d} $$ В числителе все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $$ S = \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{d} $$ Так как $a_1 = a$ и $a_n = b$, получаем: $$ S = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{d} $$ Выразим разность прогрессии $d$ через формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$ $$ b = a + (n - 1)d \implies d = \frac{b - a}{n - 1} $$ Подставим выражение для $d$ в формулу суммы: $$ S = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\dfrac{b - a}{n - 1}} = \frac{(n - 1)(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{b - a} $$ Разложим знаменатель $b - a$ по формуле разности квадратов: $b - a = (\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})$: $$ S = \frac{(n - 1)(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})} = \frac{n - 1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$ Заметим, что если разность прогрессии $d = 0$ (то есть $a = b$), то каждое слагаемое равно $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$, а всего слагаемых $n - 1$. Сумма равна $\dfrac{n - 1}{2\sqrt{a}}$, что полностью согласуется с найденной формулой. Ответ: $\dfrac{n - 1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$