ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.69

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$ Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $$ S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n $$ Для суммы первых 10 членов ($n = 10$): $$ S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = (2a_1 + 9d) \cdot 5 $$ --- ### 1) Дано: $a_2 = 7$, $a_4 = 11$. Выразим члены прогрессии через первый член $a_1$ и разность $d$: $$ \begin{cases} a_1 + d = 7 \\ a_1 + 3d = 11 \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (a_1 + 3d) - (a_1 + d) = 11 - 7 $$ $$ 2d = 4 \implies d = 2 $$ Найдем первый член $a_1$: $$ a_1 = 7 - d = 7 - 2 = 5 $$ Вычислим сумму первых 10 членов прогрессии: $$ S_{10} = (2 \cdot 5 + 9 \cdot 2) \cdot 5 = (10 + 18) \cdot 5 = 28 \cdot 5 = 140 $$ **Ответ: 140** --- ### 2) Дано: $a_3 = 5$, $a_8 = 13$. Выразим данные члены через $a_1$ и $d$: $$ \begin{cases} a_1 + 2d = 5 \\ a_1 + 7d = 13 \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (a_1 + 7d) - (a_1 + 2d) = 13 - 5 $$ $$ 5d = 8 \implies d = 1,6 $$ Найдем первый член $a_1$: $$ a_1 = 5 - 2d = 5 - 2 \cdot 1,6 = 5 - 3,2 = 1,8 $$ Вычислим сумму первых 10 членов прогрессии: $$ S_{10} = (2 \cdot 1,8 + 9 \cdot 1,6) \cdot 5 = (3,6 + 14,4) \cdot 5 = 18 \cdot 5 = 90 $$ *(Замечание: также можно заметить, что $a_3 + a_8 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 7d) = 2a_1 + 9d = 18$, откуда $S_{10} = 18 \cdot 5 = 90$)*. **Ответ: 90** --- ### 3) Дано: $a_5 + a_6 = 11$. Выразим $a_5$ и $a_6$ через $a_1$ и $d$: $$ a_5 = a_1 + 4d $$ $$ a_6 = a_1 + 5d $$ Сложим эти выражения: $$ a_5 + a_6 = (a_1 + 4d) + (a_1 + 5d) = 2a_1 + 9d $$ Так как по условию $a_5 + a_6 = 11$, получаем: $$ 2a_1 + 9d = 11 $$ Подставим полученное значение в формулу суммы первые 10 членов: $$ S_{10} = (2a_1 + 9d) \cdot 5 = 11 \cdot 5 = 55 $$ **Ответ: 55**