ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.67

По определению геометрической прогрессии каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на знаменатель $q$: $$ b_k = b_{k-1} \cdot q \quad (k \ge 2) $$ **1. Доказательство формулы $n$-го члена:** $b_n = b_1 q^{n-1}$ Запишем последовательно члены прогрессии через первый член $b_1$ и знаменатель $q$: $$ b_2 = b_1 q $$ $$ b_3 = b_2 q = (b_1 q) q = b_1 q^2 $$ $$ b_4 = b_3 q = (b_1 q^2) q = b_1 q^3 $$ Замечаем закономерность: показатель степени числа $q$ на единицу меньше номера члена прогрессии. Продолжая этот процесс для любого номера $n \in \mathbb{N}$, получаем: $$ b_n = b_1 q^{n-1} $$ Формула доказана. --- **2. Доказательство формулы:** $b_n^2 = b_{n-1} b_{n+1}$ ($n \ge 2$) По определению геометрической прогрессии выразим соседние члены относительно $b_n$: $$ b_{n-1} = \frac{b_n}{q} \quad \text{и} \quad b_{n+1} = b_n \cdot q $$ Перемножим их: $$ b_{n-1} b_{n+1} = \left(\frac{b_n}{q}\right) \cdot (b_n \cdot q) = b_n \cdot b_n \cdot \frac{q}{q} = b_n^2 $$ Таким образом: $$ b_n^2 = b_{n-1} b_{n+1} $$ Формула доказана. --- **3. Доказательство формулы суммы первых $n$ членов:** $S_n = \frac{b_1 (1 - q^n)}{1 - q}$ ($q \neq 1$) Запишем сумму первых $n$ членов прогрессии: $$ S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_n $$ Используя формулу общего члена $b_k = b_1 q^{k-1}$, перепишем сумму: $$ S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1} \quad (1) $$ Умножим обе части равенства (1) на знаменатель $q$: $$ q S_n = b_1 q + b_1 q^2 + b_1 q^3 + \ldots + b_1 q^n \quad (2) $$ Вычтем почленно равенство (2) из равенства (1): $$ S_n - q S_n = (b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}) - (b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^n) $$ Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, остаются только первое слагаемое из первой суммы и последнее из второй: $$ S_n (1 - q) = b_1 - b_1 q^n $$ Вынесем $b_1$ за скобки в правой части: $$ S_n (1 - q) = b_1 (1 - q^n) $$ Так как $q \neq 1$, разделим обе части равенства на $(1 - q)$: $$ S_n = \frac{b_1 (1 - q^n)}{1 - q} $$ Формула доказана.