ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.68

**6.68.** **Доказательство:** Рассмотрим сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n$. Для геометрической прогрессии со знаменателем $q \neq 1$ формула суммы первых $n$ членов имеет вид: $$ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} $$ Раскроем скобки в числителе и представим дробь в виде разности двух дробей: $$ S_n = \frac{b_1 - b_1 q^n}{1 - q} = \frac{b_1}{1 - q} - \frac{b_1}{1 - q} \cdot q^n $$ Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$ по определению равна пределу суммы ее первых $n$ членов при стремлении числа слагаемых $n$ к бесконечности ($n \to \infty$): $$ S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{b_1}{1 - q} - \frac{b_1}{1 - q} \cdot q^n \right) $$ Так как по условию прогрессия является бесконечно убывающей, то $|q| < 1$. При увеличении $n$ степень $q^n$ неограниченно приближается к нулю, то есть: $$ \lim_{n \to \infty} q^n = 0 $$ Следовательно, слагаемое $\dfrac{b_1}{1 - q} \cdot q^n$ стремится к $0$ при $n \to \infty$: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} - \frac{b_1}{1 - q} \cdot 0 = \frac{b_1}{1 - q} $$ Таким образом: $$ b_1 + b_2 + \ldots + b_n + \ldots = \frac{b_1}{1 - q} $$ Что и требовалось доказать.