ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.66

По определению арифметической прогрессии каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа $d$ (разности прогрессии): $$ a_k = a_{k-1} + d \quad \text{или} \quad a_k - a_{k-1} = d \quad (k \ge 2). $$ **1. Доказательство формулы $a_n = a_1 + (n-1)d$** Запишем определение разности для последовательных членов: $$ \begin{aligned} a_2 - a_1 &= d, \\ a_3 - a_2 &= d, \\ a_4 - a_3 &= d, \\ &\;\;\vdots \\ a_n - a_{n-1} &= d. \end{aligned} $$ Всего записано $n-1$ равенство. Сложим их почленно: $$ (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + (a_4 - a_3) + \ldots + (a_n - a_{n-1}) = \underbrace{d + d + \ldots + d}_{(n-1) \text{ раз}}. $$ В левой части взаимно уничтожаются все промежуточные члены, остаётся $a_n - a_1$. В правой части сумма $n-1$ слагаемых, равных $d$: $$ a_n - a_1 = (n - 1)d. $$ Перенесём $a_1$ в правую часть: $$ a_n = a_1 + (n - 1)d. $$ Формула доказана. --- **2. Доказательство формулы $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$** Для любого члена прогрессии $a_n$ при $n \ge 2$ разность $d$ можно выразить через соседние члены: $$ d = a_n - a_{n-1} \quad \text{и} \quad d = a_{n+1} - a_n. $$ Приравняем правые части этих равенств: $$ a_n - a_{n-1} = a_{n+1} - a_n. $$ Перенесём члены с $a_n$ в левую часть, а члены с индексами $n-1$ и $n+1$ — в правую часть: $$ a_n + a_n = a_{n-1} + a_{n+1}, $$ $$ 2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}. $$ Формула доказана. --- **3. Доказательство формулы $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$** Сумма первых $n$ членов прогрессии равна: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n-1} + a_n. $$ Запишем эту же сумму в обратном порядке слагаемых: $$ S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \ldots + a_2 + a_1. $$ Сложим почленно два этих равенства: $$ 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \ldots + (a_n + a_1). $$ Покажем, что каждая пара слагаемых в скобках равна $a_1 + a_n$. Для произвольного $k$-го слагаемого с начала и $k$-го слагаемого с конца имеем: $$ a_k + a_{n-k+1} = \bigl(a_1 + (k - 1)d\bigr) + \bigl(a_1 + (n - k)d\bigr) = 2a_1 + (n - 1)d = a_1 + a_n. $$ Все $n$ пар скобок равны между собой и равны $a_1 + a_n$, следовательно: $$ 2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n, $$ $$ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n. $$ Подставим в полученную формулу ранее доказанное выражение $a_n = a_1 + (n - 1)d$: $$ S_n = \frac{a_1 + \bigl(a_1 + (n - 1)d\bigr)}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n. $$ Формула доказана.