ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.97

Пусть радиус малой окружности кольца равен $r$, тогда радиус большой окружности равен $R = 2r$. Центр концентрических окружностей обозначим через точку $O$. 1. **Площадь кольца** Площадь всего кольца равна разности площадей большого и малого кругов: $$ S_{\text{кольца}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (2r)^2 - \pi r^2 = 4\pi r^2 - \pi r^2 = 3\pi r^2 $$ 2. **Определение освещенной области** Внутренняя область малой окружности является непрозрачной преградой для света. Источник света находится в точке $S$ на малой окружности. Проведем через точку $S$ касательную прямую к малой окружности: * Малый круг целиком лежит по одну сторону от этой касательной (в одной полуплоскости). * Любой луч света, исходящий из точки $S$ в эту полуплоскость, сразу попадает внутрь малого круга и задерживается им. * Следовательно, свет беспрепятственно распространяется только в противоположную полуплоскость, не содержащую малый круг. Таким образом, освещенная область кольца представляет собой фигуру, отсекаемую от кольца касательной прямой и лежащую в полуплоскости, не содержащей центр $O$. Поскольку малый круг касается этой прямой лишь в одной точке $S$, освещенная область совпадает с сегментом большого круга радиуса $R$, отсекаемым данной касательной. 3. **Площадь освещенной области** Расстояние от центра $O$ до касательной прямой равно радиусу малой окружности $d = r$. Найдем центральный угол $\alpha$ сегмента большого круга: $$ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{d}{R} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2} $$ Отсюда: $$ \frac{\alpha}{2} = 60^\circ \implies \alpha = 120^\circ = \frac{2\pi}{3} \text{ рад} $$ Площадь кругового сектора с углом $\alpha = 120^\circ$: $$ S_{\text{сект}} = \frac{1}{2} R^2 \alpha = \frac{1}{2} \cdot (2r)^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi r^2}{3} $$ Площадь треугольника, образованного радиусами и хордой: $$ S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot (2r)^2 \cdot \sin 120^\circ = 2r^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = r^2\sqrt{3} $$ Площадь освещенной части кольца (площадь сегмента): $$ S_{\text{осв}} = S_{\text{сект}} - S_{\triangle} = \frac{4\pi r^2}{3} - r^2\sqrt{3} = r^2\left(\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}\right) $$ 4. **Вычисление вероятности** По формуле геометрической вероятности, вероятность того, что наудачу выбранная точка кольца окажется освещенной, равна отношению площади освещенной области к площади всего кольца: $$ P = \frac{S_{\text{осв}}}{S_{\text{кольца}}} = \frac{r^2\left(\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}\right)}{3\pi r^2} = \frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{9\pi} $$ Ответ: $\dfrac{4\pi - 3\sqrt{3}}{9\pi}$ (или $\dfrac{4}{9} - \dfrac{\sqrt{3}}{3\pi} \approx 0{,}26$).