ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.94

Пусть точки излома прутика находятся на расстояниях $x$ и $y$ от одного из его концов. Без ограничения общности будем считать, что $0 < x < y < l$. Тогда прутик делится на три части с длинами: - первая часть: $a = x$; - вторая часть: $b = y - x$; - третья часть: $c = l - y$. Множество всех возможных исходов $\Omega$ на координатной плоскости $(x; y)$ задаётся условием $0 < x < y < l$. Это прямоугольный треугольник с катетами, равными $l$. Его площадь равна: $$ S(\Omega) = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l = \frac{l^2}{2} $$ **1) Вероятность того, что из этих частей можно образовать треугольник** Из трёх отрезков можно составить треугольник тогда и только тогда, когда сумма длин любых двух из них больше третьего (неравенство треугольника). Так как сумма всех трёх частей равна $l$, это условие равносильно тому, что длина каждой части меньше половины длины всего прутика, то есть меньше $\frac{l}{2}$: $$ \begin{cases} a < \dfrac{l}{2} \\ b < \dfrac{l}{2} \\ c < \dfrac{l}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} x < \dfrac{l}{2} \\ y - x < \dfrac{l}{2} \\ l - y < \dfrac{l}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} x < \dfrac{l}{2} \\ y < x + \dfrac{l}{2} \\ y > \dfrac{l}{2} \end{cases} $$ С учётом общего условия $0 < x < y < l$, благоприятствующая область $G_1$ ограничена прямыми $x = \frac{l}{2}$, $y = \frac{l}{2}$ и $y = x + \frac{l}{2}$. Эта область представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами в точках $\left(0; \frac{l}{2}\right)$, $\left(\frac{l}{2}; \frac{l}{2}\right)$ и $\left(\frac{l}{2}; l\right)$. Длины его катетов равны: - горизонтальный катет: $\frac{l}{2} - 0 = \frac{l}{2}$; - вертикальный катет: $l - \frac{l}{2} = \frac{l}{2}$. Площадь области $G_1$: $$ S(G_1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{l}{2} \cdot \frac{l}{2} = \frac{l^2}{8} $$ По формуле геометрической вероятности: $$ P_1 = \frac{S(G_1)}{S(\Omega)} = \frac{\dfrac{l^2}{8}}{\dfrac{l^2}{2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$ **Ответ к пункту 1:** $\dfrac{1}{4}$ --- **2) Вероятность того, что длина каждой из этих частей не меньше, чем $\frac{l}{4}$** Запишем условие задачи в виде системы неравенств: $$ \begin{cases} a \ge \dfrac{l}{4} \\ b \ge \dfrac{l}{4} \\ c \ge \dfrac{l}{4} \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \dfrac{l}{4} \\ y - x \ge \dfrac{l}{4} \\ l - y \ge \dfrac{l}{4} \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \dfrac{l}{4} \\ y \ge x + \dfrac{l}{4} \\ y \le \dfrac{3l}{4} \end{cases} $$ Благоприятствующая область $G_2$ ограничена прямыми $x = \frac{l}{4}$, $y = \frac{3l}{4}$ и $y = x + \frac{l}{4}$. Найдём вершины этой области: - пересечение $x = \frac{l}{4}$ и $y = \frac{3l}{4}$: точка $\left(\frac{l}{4}; \frac{3l}{4}\right)$; - пересечение $x = \frac{l}{4}$ и $y = x + \frac{l}{4}$: при $x = \frac{l}{4}$ получаем $y = \frac{l}{4} + \frac{l}{4} = \frac{l}{2}$, то есть точка $\left(\frac{l}{4}; \frac{l}{2}\right)$; - пересечение $y = \frac{3l}{4}$ и $y = x + \frac{l}{4}$: при $y = \frac{3l}{4}$ получаем $x = \frac{3l}{4} - \frac{l}{4} = \frac{l}{2}$, то есть точка $\left(\frac{l}{2}; \frac{3l}{4}\right)$. Область $G_2$ является прямоугольным треугольником с вершинами $\left(\frac{l}{4}; \frac{l}{2}\right)$, $\left(\frac{l}{4}; \frac{3l}{4}\right)$ и $\left(\frac{l}{2}; \frac{3l}{4}\right)$. Длины его катетов равны: - вертикальный катет: $\frac{3l}{4} - \frac{l}{2} = \frac{l}{4}$; - горизонтальный катет: $\frac{l}{2} - \frac{l}{4} = \frac{l}{4}$. Площадь области $G_2$: $$ S(G_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{l}{4} \cdot \frac{l}{4} = \frac{l^2}{32} $$ По формуле геометрической вероятности: $$ P_2 = \frac{S(G_2)}{S(\Omega)} = \frac{\dfrac{l^2}{32}}{\dfrac{l^2}{2}} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16} $$ **Ответ к пункту 2:** $\dfrac{1}{16}$