ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.95

Положение монеты на плоскости определяется положением её центра. Будем считать, что центр монеты наудачу падает на шахматную доску. Шахматная доска состоит из 64 квадратных клеток: 32 белых и 32 чёрных. Длина стороны каждой клетки равна $2a$. Тогда площадь одной клетки равна: $$ S_{\text{кл}} = (2a)^2 = 4a^2 $$ Диаметр монеты равен $2r$, следовательно, её радиус равен: $$ R = \frac{2r}{2} = r $$ 1) Чтобы упавшая монета целиком поместилась внутри некоторой клетки, её центр должен находиться на расстоянии не менее радиуса $r$ от каждой из четырёх сторон этой клетки. Следовательно, центр монеты должен попасть во внутренний квадрат, стороны которого параллельны сторонам клетки и отстоят от них на расстояние $r$. Длина стороны такого «благоприятного» квадрата равна: $$ 2a - 2r = 2(a - r) $$ Площадь этой благоприятной области внутри одной клетки составляет: $$ S_{\text{бл}} = (2(a - r))^2 = 4(a - r)^2 $$ Так как доска состоит из 64 одинаковых клеток, отношение суммарной благоприятной площади всех 64 клеток ко всей площади доски равно отношению соответствующих площадей для одной клетки. По формуле геометрической вероятности: $$ P_1 = \frac{S_{\text{бл}}}{S_{\text{кл}}} = \frac{4(a - r)^2}{4a^2} = \frac{(a - r)^2}{a^2} = \left(\frac{a - r}{a}\right)^2 $$ 2) Шахматная доска содержит 64 клетки, из которых ровно половина — 32 клетки — чёрного цвета. Событие «монета целиком оказалась внутри клетки чёрного цвета» происходит тогда, когда её центр попадает в благоприятную область одной из 32 чёрных клеток. Общая площадь доски: $$ S_{\text{доски}} = 64 \cdot S_{\text{кл}} = 64 \cdot 4a^2 $$ Благоприятная площадь для попадания в чёрные клетки: $$ S_{\text{чёрн}} = 32 \cdot S_{\text{бл}} = 32 \cdot 4(a - r)^2 $$ Искомая вероятность равна: $$ P_2 = \frac{S_{\text{чёрн}}}{S_{\text{доски}}} = \frac{32 \cdot 4(a - r)^2}{64 \cdot 4a^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(a - r)^2}{a^2} = \frac{(a - r)^2}{2a^2} $$ **Ответ:** 1) $\left(\frac{a - r}{a}\right)^2$; 2) $\frac{(a - r)^2}{2a^2}$.