ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.100

1) $\frac{4}{x} + 5 = \frac{1}{x^2}$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x^2$: $$ 4x + 5x^2 = 1 $$ Запишем полученное квадратное уравнение в стандартном виде: $$ 5x^2 + 4x - 1 = 0 $$ Найдем дискриминант уравнения: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2 $$ Вычислим корни: $$ x_1 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0,2 $$ $$ x_2 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 $$ Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$). Ответ: $-1$; $0,2$. --- 2) $\frac{2}{x^2 + 3} + \frac{4}{x^2 + 7} = 1$ Так как при любых действительных значениях $x$ выражения $x^2 + 3 \ge 3 > 0$ и $x^2 + 7 \ge 7 > 0$, знаменатели дробей не обращаются в ноль. Введем замену переменной: пусть $t = x^2$, причем $t \ge 0$. Тогда уравнение принимает вид: $$ \frac{2}{t + 3} + \frac{4}{t + 7} = 1 $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(t + 3)(t + 7) \neq 0$: $$ 2(t + 7) + 4(t + 3) = (t + 3)(t + 7) $$ Раскроем скобки: $$ 2t + 14 + 4t + 12 = t^2 + 7t + 3t + 21 $$ $$ 6t + 26 = t^2 + 10t + 21 $$ Перенесем все слагаемые в правую часть: $$ t^2 + 10t - 6t + 21 - 26 = 0 $$ $$ t^2 + 4t - 5 = 0 $$ По теореме Виета найдем корни: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = -5 $$ Так как $t \ge 0$, значение $t_2 = -5$ не подходит. Выполним обратную замену для $t_1 = 1$: $$ x^2 = 1 $$ $$ x = \pm 1 $$ Ответ: $-1$; $1$.