ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.98

В задаче 5.97 рассматривалось попадание точки в геометрическую область на плоскости, ограниченную концентрическими окружностями радиусов $r$ и $R$ ($r < R$), где вероятность определялась отношением площадей. При замене концентрических окружностей на концентрические сферы задача переходит в трёхмерное пространство, и геометрическая вероятность определяется через отношение объёмов тел: $$ P = \frac{V_{\text{бл}}}{V_{\text{общ}}} $$ где $V_{\text{общ}}$ — объём всей области, а $V_{\text{бл}}$ — объём благоприятствующей области. **1. Необходимые формулы из математического справочника:** Объём шара радиуса $R$ вычисляется по формуле: $$ V = \frac{4}{3}\pi R^3 $$ **2. Нахождение объёмов геометрических тел:** Пусть даны две концентрические сферы с общим центром и радиусами $r$ и $R$ ($0 < r < R$). Объём большего шара (всего пространства возможных исходов): $$ V_{\text{общ}} = \frac{4}{3}\pi R^3 $$ Объём меньшего шара (внутренней сферы): $$ V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3 $$ Объём пространства, заключённого между сферами (шарового слоя): $$ V_2 = V_{\text{общ}} - V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3) $$ **3. Вычисление вероятностей:** * Вероятность того, что точка, наудачу выбранная внутри большего шара, попадёт внутрь меньшей сферы (в малый шар): $$ P_1 = \frac{V_1}{V_{\text{общ}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{r^3}{R^3} = \left(\frac{r}{R}\right)^3 $$ * Вероятность того, что точка попадёт в область между концентрическими сферами (в шаровой слой): $$ P_2 = \frac{V_2}{V_{\text{общ}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{R^3 - r^3}{R^3} = 1 - \left(\frac{r}{R}\right)^3 $$ *(Если в условии задачи задано конкретное соотношение радиусов, например $r = \frac{R}{2}$, то $P_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$, а $P_2 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$).* **Ответ:** вероятность попадания точки в малый шар равна $\left(\frac{r}{R}\right)^3$; вероятность попадания в область между сферами равна $1 - \left(\frac{r}{R}\right)^3$.