ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.96

Пусть длины трех выбранных отрезков равны $x$, $y$ и $z$. По условию длины отрезков не превосходят $l$, то есть: $$ 0 < x \le l, \quad 0 < y \le l, \quad 0 < z \le l $$ Множество всех возможных исходов представляет собой в трехмерном пространстве куб со стороной $l$. Объем этого куба (пространства элементарных событий $\Omega$) равен: $$ V(\Omega) = l^3 $$ Для того чтобы из трех отрезков можно было составить треугольник, необходимо и достаточно выполнение неравенств треугольника: $$ \begin{cases} x + y > z \\ x + z > y \\ y + z > x \end{cases} $$ Найдем вероятность противоположного события $\overline{A}$, при котором треугольник составить нельзя. Это происходит, когда сумма каких-либо двух отрезков не превосходит длины третьего: 1) $x + y \le z$ 2) $x + z \le y$ 3) $y + z \le x$ Так как длины отрезков положительны, эти три условия не могут выполняться одновременно. В силу симметрии объемы областей, соответствующих каждому из этих условий, равны. Найдем объем области $V_1$, удовлетворяющей условию $x + y \le z$. Данная фигура представляет собой треугольную пирамиду с вершиной в точке $(0, 0, 0)$ и основанием в плоскости $z = l$. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами, равными $l$, в плоскости $z = l$: $$ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l = \frac{l^2}{2} $$ Высота пирамиды равна $h = l$. Объем этой пирамиды: $$ V_1 = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{l^2}{2} \cdot l = \frac{l^3}{6} $$ Общий объем области, для которой треугольник составить нельзя, равен сумме объемов трех таких пирамид: $$ V(\overline{A}) = 3 \cdot V_1 = 3 \cdot \frac{l^3}{6} = \frac{l^3}{2} $$ Тогда объем благоприятной области, при которой треугольник существует: $$ V(A) = V(\Omega) - V(\overline{A}) = l^3 - \frac{l^3}{2} = \frac{l^3}{2} $$ По определению геометрической вероятности: $$ P(A) = \frac{V(A)}{V(\Omega)} = \frac{\frac{l^3}{2}}{l^3} = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ Ответ: $\dfrac{1}{2}$ (или $0{,}5$).