ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.88

По формуле геометрической вероятности, вероятность попадания случайно выбранной точки круга в некоторую фигуру, содержащуюся в этом круге, равна отношению площади этой фигуры к площади круга: $$ P = \frac{S_{\text{фиг}}}{S_{\text{кр}}} $$ Площадь круга радиусом $R$ вычисляется по формуле: $$ S_{\text{кр}} = \pi R^2 $$ **1) Квадрат, вписанный в данный круг** Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности: $$ d = 2R $$ Площадь квадрата выражается через его диагональ: $$ S = \frac{1}{2} d^2 = \frac{1}{2} (2R)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 = 2R^2 $$ Находим вероятность: $$ P = \frac{2R^2}{\pi R^2} = \frac{2}{\pi} $$ **Ответ к пункту 1:** $\frac{2}{\pi}$ --- **2) Правильный треугольник, вписанный в данный круг** Радиус описанной около правильного треугольника окружности выражается через его сторону $x$: $$ R = \frac{x}{\sqrt{3}} \implies x = R\sqrt{3} $$ Площадь правильного треугольника: $$ S = \frac{x^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} $$ Находим вероятность: $$ P = \frac{\frac{3\sqrt{3}R^2}{4}}{\pi R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} $$ **Ответ к пункту 2:** $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$ --- **3) Прямоугольник со стороной $2a$ ($0 < a < R$), вписанный в данный круг** Диагональ вписанного прямоугольника равна диаметру круга, то есть $d = 2R$. Пусть одна сторона прямоугольника равна $2a$, а вторая сторона равна $y$. По теореме Пифагора: $$ (2a)^2 + y^2 = (2R)^2 $$ $$ 4a^2 + y^2 = 4R^2 \implies y^2 = 4(R^2 - a^2) \implies y = 2\sqrt{R^2 - a^2} $$ Площадь прямоугольника: $$ S = 2a \cdot y = 2a \cdot 2\sqrt{R^2 - a^2} = 4a\sqrt{R^2 - a^2} $$ Находим вероятность: $$ P = \frac{4a\sqrt{R^2 - a^2}}{\pi R^2} $$ **Ответ к пункту 3:** $\frac{4a\sqrt{R^2 - a^2}}{\pi R^2}$ --- **4) Равнобедренная трапеция с основаниями $2a$ и $2b$ ($0 < a < R$, $0 < b < R$), вписанная в данный круг** Основания трапеции представляют собой хорды окружности длинами $2a$ и $2b$. Расстояния от центра окружности до этих хорд находятся из прямоугольных треугольников по теореме Пифагора: $$ h_1 = \sqrt{R^2 - a^2}, \quad h_2 = \sqrt{R^2 - b^2} $$ Высота трапеции $h$ зависит от расположения ее оснований относительно центра круга: * Если основания лежат по разные стороны от центра круга (центр внутри трапеции): $$ h = h_1 + h_2 = \sqrt{R^2 - a^2} + \sqrt{R^2 - b^2} $$ Тогда площадь трапеции равна: $$ S = \frac{2a + 2b}{2} \cdot h = (a + b)\left(\sqrt{R^2 - a^2} + \sqrt{R^2 - b^2}\right) $$ Искомая вероятность: $$ P = \frac{(a + b)\left(\sqrt{R^2 - a^2} + \sqrt{R^2 - b^2}\right)}{\pi R^2} $$ * Если основания лежат по одну сторону от центра круга: $$ h = |h_1 - h_2| = \left|\sqrt{R^2 - a^2} - \sqrt{R^2 - b^2}\right| $$ Площадь трапеции: $$ S = (a + b)\left|\sqrt{R^2 - a^2} - \sqrt{R^2 - b^2}\right| $$ Искомая вероятность: $$ P = \frac{(a + b)\left|\sqrt{R^2 - a^2} - \sqrt{R^2 - b^2}\right|}{\pi R^2} $$ **Ответ к пункту 4:** $\frac{(a + b)\left(\sqrt{R^2 - a^2} + \sqrt{R^2 - b^2}\right)}{\pi R^2}$ (если центр круга лежит между основаниями трапеции) или $\frac{(a + b)\left|\sqrt{R^2 - a^2} - \sqrt{R^2 - b^2}\right|}{\pi R^2}$ (если основания лежат по одну сторону от центра).